152 2

I

302

XV. Całki nieoznaczone — Metody podstawowe

Zadanie 15.20. Obliczyć całkę J (1 nx)² dx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że x>0. Całkujemy przez części przyjmując

u = (ln x)², dv — dx, skąd du — 21nx- — dx,u—\dx = x.

x

Obliczamy

| (ln x)² dx = jc(ln x)²-j * ‘

2 ln x •— dx = x(ln x) x

'W

ln xdx.

Na podstawie zadania 15.18 mamy w dalszym ciągu

j (ln x)² dx = x(ln x)²— 2x (ln x-l) + C = x((ln x)² — 2 ln jc + 2) + C Zadanie 15.21. Obliczyć całkę J aretg x dx.

Rozwiązanie. Całkujemy przez części przyjmując

dx

u = aretg x, dv — dx,    skąd    du =——- , u = J ix=x .

Wówczas mamy

I

aretg x dx—x aretg x

-J

x dx

x^l+\

Ostatnią całkę obliczamy podstawiając x² + l = t, skąd xdx—^dt (por. zad. 15.8). Zauważmy, że t>0. Mamy

x dx

x² +

c ndt ,    ,, ,    ,

-=J —=3ln |r|=iln(x +1).

Ostatecznie otrzymujemy

J aretg x dx = x aretg x — 3 ln {x² +1) +C.

Zadania

Obliczyć całki (zad. 15.22 - 15.83): 15.22. J ^5x²-6*4-3--^-+-^) dx.

15.24. j (x² — x + \)(x² +x + l) dx . x dx

, (x²-l)³

15.23. ^v-^ dx.

^Łf

15.26.

15.25. J (x²+4y xdx. x dx

,5.28. J 2

1+X² '

x² dx

,5.27. |

y ₃,

³+ x³

15.29.

(x² +3)⁶ " X l/x +t/x

dx.

15.30.

15.32.

15.34.

15.36.

15.38.

15.40.

15.42.

15.44.

15.46.

15.48.

15.50.

15.52.

15.54.

15.56.

15.58.

15.60.

j

xjx-xtjx

V*-2^?+4t/5p

‘ 6lJx

15.31. J (3 +2 tjx)³ dx

dx.

15.33.

3+sl/x²

VP

dx.

_[ \/3jc +1 dx . r x dx

J \'2x²—1 '

te

J 1

dx.

15.35. j\/a+bxdx.

15.37. jWl+P dx.

f x-\ _J 15.39. _T7=dx.

J Vx + l

dx.

15.41.

’ x² dx

e'^,x

-=- dx.

x²

dx

2 cos² 3x'

J sin⁵ x cos x dx.

I" sin x

-_;-dx, 6# 0.

J <

I

a+b cos x x³ dx

15.43. jxe~^x2dx.

15.45. J xsin(2x²+l)dx. f cos x

15.47.    -j==.dx.

J vl+ sin x 15.49. J cos x ■ e^sinjt dx. tgx

cos² x⁴ '

x² dx

COS²(*³ + 1) dx

.5’. |

.53. J

cos² X

dx.

, (ln x)²

15.53. 1 -dx.

f e^xdx

¹⁵-⁵⁵- J 27TT •

j x ln (1 +x²) dx .

15.57.

P V2+ln

$6^l~^xdx. f ln |arctg x\ dx

J r+P

J —

.5,59, J

dx

dx.

^x Vl — ln²|x| 15.61. (xe^x*(x² + l)dx.