158 2

314 XVI. Całki funkcji wymiernych

Zadanie 16.16. Obliczyć całkę

314 XVI. Całki funkcji wymiernych

^r"J

x⁵+x⁴ + 3x³+x²-2 x⁴-l

dx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że x# 1 i x/ —1. Jak widzimy, licznik funkcji podcałkowej jest wyższego stopnia niż mianownik, wobec czego dzielimy licznik przez mianownik. Dzielenie daje iloraz x +1 oraz resztę 3x³+x²+x—1, a więc

x⁵+x⁴ +3x³+x²—2

x -1

-=x+l+

3 a +a'²h~a'—1

x⁴-l

Wobec tego

(1)

^r= J^xdx+1

dx +

3x³+x²+x—1 x⁴-l

dx.

Pierwszą i drugą całkę obliczamy od razu:

§xdx=jx², jdx = x.

W trzeciej całce rozkładamy mianownik na czynniki

x^ł-ls(x²-l)(x^z + l)=(x-l)(x+l)(x² + l).

Funkcję podcałkową rozkładamy na sumę ułamków prostych

3x³+x²+x-l_ A B Cx+D x⁴-l x—1⁺x + l⁺ x² + l

Uwaga. Jeżeli w mianowniku ułamka prostego znajduje się wyrażenie stopnia pierwszego lub jego potęga, to w liczniku piszemy stałą; jeżeli w mianowniku jest wyrażenie nieprzywiedlne stopnia drugiego lub jego potęga, to w liczniku piszemy dwumian stopnia pierwszego.

Mnożymy obie strony tożsamości przez wspólny mianownik

3x³+x²+x-1sA(x + 1)(x² + 1)+B(x-1)(x² + 1)+(Cx + £))(x-1)(x + 1).

W miejsce x podstawiamy kolejno pierwiastki mianownika; dla x = 1 mamy 3 +1 +1 -1 = = A-2-2, skąd A = 1, a dla x=-l mamy -3+1 — 1 — 1 =J?-(-2)-2, skąd B= 1.

Chcąc znaleźć pozostałe współczynniki C i D przyrównujemy współczynniki przy x’ oraz wyrazy wolne. Współczynniki przy x³ dają

	3=A+B+C,	skąd	C=1 ;
wyrazy wolne dają	-1 =A-B-D,	skąd	D= 1 .
A więc	3x^3+x^2+x —1 1	1	*4-1 -1-
	x^4-l ^_x-	1 x ■+• 1	x^2 + l

Zadania

315

Całkujemy

(2)

f 3x³ +X +x— 1 F dx j* dx

J    ^<lx J x-l ⁺ J x + l

+

X 4-1 x² + l

dx.

Obliczamy poszczególne całki. Mamy

f dx    , r dx .

J —j=^lnl^JC-¹l*    J ^TT^=lnl^x+1l-

Trzecią całkę rozkładamy na sumę dwóch całek

xdx

(3)

f x + l

—r- dx =

J -v² + l

x²+l

+

dx

x² + 1

Pierwsza z całek po prawej stronie została obliczona w zadaniu 15.21:

4ln(x² + l) .

xdx

x² + l

Drugą całkę w równości (3) otrzymujemy bezpośrednio ze wzoru (15.2.10):

dx

x* + l

= arctgx-.

Wracając do równości (3) mamy

x + l x² + l

Na podstawie równości (2) otrzymujemy 3 A'³ + x² + x — 1

r

dx=\ln(x² + l)+arctgx

x*' — 1

dx = ln|x— l|+ln|A + l|+4ln(A-² + 1)+arctgjr.

Ostatecznie, na podstawie równości (1), mamy

C x⁵+x^Ą+3x³-x²-2    ,    , . ,    .    ,,    ₂    _

-j— ---dx = jx²+x + ln |x²-l|+2ln(jc +l)+arctgjf + C .

Zadanie 16.17. Obliczyć całkę

dx .

4x³ +x²-4x-4 x* — 5x² +4

Rozwiązanie. W mianowniku mamy trójmian dwukwadratowy. Traktując x² jako nową zmienną u obliczamy wyróżnik zt =25 — 16 = 9>0 i pierwiastki +1 i +4: rozkładamy trójmian na czynniki na podstawie wzoru iloczynowego trójmianu:

x* — 5x² +4 = (x² — l)(x² — 4)s(x — l)(x + l)(x —2)(a^- + 2) .