img265

8.4. METODY CAŁKOWANIA

Twierdzenie o liniowości całki nieoznaczonej: jeśli w przedziale ./istnieją funkcje pierwotne funkcji /, i f₂ i jeśli c, eR.CjER są dowolnymi stałymi, to dla przedziału J prawdziwe jest:

/ [c, /, U) + c₂/₂ (x)\dx = c, J/j (x)dx + c, Jf₂(x)dx Szczególne przypadki:

jcf(x) =cjf(x)dx. gdziec€R jest stała.

j[f(x)±g(x)]dx = jf(x)dx±j g(x)dx

Calków anie przez części (per partes): jeśli funkcja podcałkowa ma postać iloczynu u (x) v'(x). przy czym funkcje u, v mają ciągle pochodne w przedziale otwartym J. to w tym przedziale prawdziwe jest:

J u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - f u'(x)v(x)dx.

Całkowanie przez podstaw ienie:

1)    Całkę J f(<p(t)) <p\t)dt wyznaczamy tak. że znajdujemy dowolną funkcję pierwotną F(x) funkcji/(.r) i do wyniku w miejsce zmiennej x wstawiamy x - <p(t):

jf(<P(t)) <p\t)dt = F(<p(t)) + C

Funkcja cp musi mieć ciągłą pochodną ę w przedziale (a, fi). funkcja / musi być ciągła w przedziale (a,b), a <p(t)e(a;b) dla wszystkich re(a;P).

2)    Calkc jf(x)dx wyznaczamy tak, że znajdujemy dowolną funkcję pierwotną W(t) funkcji f((p(t))(p\t) ido wyniku w miejsce zmiennej t wstawiamy t-<p(x). gdzie i// jest funkcją odwrotną do funkcji <pw przedziale (a, fi):

ff(x)dx=H(y,(x)) + C.

Jednocześnie, oprócz założenia 1) dodatkowo zakładamy istnienie funkcji odwrotnej do funkcji ig. Ze względu na to, że z danej funkcji / = i//(x) otrzymujemy X = tp(t), konieczne jest sprawdzenie istnienia też ciągłości funkcji <p w przedziale (a,fi)

Najczęstsze podstawienia:

ax + b=t -»	dx = —dt a	(a* 0)
- a	dx-adt	(a* 0)
- X	dx= -—dt t^2	(a * 0, x * 0)
e^x = t -*	. dt dx - — t
ln.v =t -*	dx=e 'dt	C*>0)
f II	dx=2tdt	(x*0)

ANALIZA MATEMATYCZNA

51