2808184641

Biotechnologia I aem. M .Twardowska Całki nieoznaczone 1

Całkowanie przez części i przez podstawienie.

•    Całkowanie przez części. Jeżeli funkcje u{x) i v(x) mają. na pewnym przedziale ciągłe pochodne, to

/ u(x)v'(x)dx = u{x)v{x) — J u' (x)v(x)dx

•    Całkowanie przez podstawienie. Jeśli funkcja x — f(t) ma ciągłą pochodną f'(t) na przedziale T , to dla funkcji g(x) określonej na przedziale /(T) zachodzi

Jg(x) dx = J    dt

• Podstawowe wzory całkowania:

/_r«+i

x^a dx =--h C (a 7^ —1)

_a -I-1_

J e*dx = e^x -I- C

/

= — ctg® 4- C

sin x

+ c

1

a^xdx = +C Ino

l

/

dx

1 + ®²

dx

cos²®

arctg® 4-C

tg® 4- C

1

/

dx 1 x „

~2~.-j ^{= _arC} tg^- + ^C

a. -I- g o_o

dx

= arcsin® 4- C

/

va■

dx    x „

= = arcsin — + C

/

sin® d® ~ - cos® 4- C

/

cos® d® = sin® 4- C

Policzyć całki, wykorzystując jedynie wzory podstawowe

i f iii*.    b> f ^-,dx    o f

^e)7^tg2

^!)/

xdx 4 — ®

^b>/i

o/

*7

27 4- ®

e* — 4 • 3* + 2*

3*

®² + ® + 1

d®

m) /SĄ*    n) f

J COS®    d

®(®² 4-1) (l-®)²

d®

^C)/

g) J sin²|d®

. . f cos 2®

^k)/

dx

Xyfx

•d®

O)/

d®

cos® - sin® ®^® - 2^/®^® yfx

dx

^d>7

^h)/

■»/(

*>/l

®

®² + l

d®

d®

sin² ® cos² ® 2    5® \

® ⁺

sin² ®

4- cos®

-d®

2. Policzyć całki, w których argument jest funkcją liniową zmiennej ®

a,/

e^7xdx

^b)/ cos4®d®

3. Policzyć całki postaci

f fi*)

J /(«)

d®

a)/

e* +3

d®

c) [ — _

^b)/ tg®d®

d) J e³a5+4d®

^d)7^

-d®

®

4. Policzyć całki przez podstawienie

a,/

«/l

\/l + ln®

d®

®

y'®

: d®

^b)7

^f)7

e²³

-I-

X

■y/TT®²

d®

d®

4-

5. Policzyć całki przez części:

a) J x²e^3xdx    b) J ®²sin2®d®

c) / sin® cos (cos ®)d®

®

^d>/^' ^h)/

i¹/* d®

®ln®ln(ln®)

d®

*>7

®

cos²®

d®

^f>7

®e*

(1 4-®)^:

■ d®

■»/

-/

®² ln x dx ln(sin ®) sin²®

d) J ln²®d®

d®

^h)/

® arctg® d®