3582316182

Biotechnologia I aem. M .Twardowska Szeregi liczbowe i funkcyjne 1

Szeregi liczbowe i szeregi potęgowe.

Warunek konieczny zbieżności szeregu: Jeżeli / a_n jest zbieżny, to lim On = 0.

n—* oo

n—1

•    Kryterium d’Alemberta

oo

Jeżeli wyrazy szeregu V o_n są, dodatnie oraz istnieje granica lim ^Qn+1 = g, to szereg ten jest

fr!    n-*oo a_n

łl—J-

zbieżny, gdy g < 1, a rozbieżny, gdy g > 1.

•    Kryterium Cauchy’ego

00

Jeżeli wyrazy szeregu > On są nieujemne oraz istnieje granica lim ~ o, to szereg ten jest

—⁴    n-* oo

n=l

zbieżny, gdy g < 1, a rozbieżny, gdy g > 1.

•    Kryterium porównawcze

OO    00

on On, to prawdziwe

Jeżeli wyrazy szeregów ^ On i ^ b_n są, nieujemne oraz od pewnego n € I

n=l

n=l

oo

są, następujące implikacje: jeśli ^ b_n jest zbieżny, to ^ a_n jest zbieżny

n=l    n=l

00 00

oraz jeśli ^ o_n jest rozbieżny, to ^ b_n jest rozbieżny.

n=l

n=l

•    Kryterium Leibniza

00

Jeżeli ciąg On jest nieujemny i nierosnący oraz lim a_n = O, to szereg / (—l)ⁿOn jest zbieżny

n—>oo    *——^d

n= 1

•    Kryterium całkowe

Jeżeli ro£N oraz funkcja f(x) jest nierosnąca i nieujemna na przedziale (ro, -(-oo), to +°° 00 człka niewłaściwa / f(x) jest zbieżna <=i> szereg ^ / (n) jest zbieżny, m

•    Promień zbieżności szeregu potęgowego

oo

Jeżeli dla szeregu potęgowego ^ a_n(x - Xa)ⁿ istnieje jedna z granic

n=0

lim 2S±1 ₌ n-*oo o_n

f i *

= < OO j«

l O j<

— 5 lub lim \/|on| = g, to szereg ten jest zbieżny bezwzględnie dla \x — xo| < R, gdzie

n—+oo

j jeżeli O < g < oo;

R-l oo jeżeli g — O, jeżeli g = oo.

• Podstawowe rozwinięcia w szereg

00

1. --— ^ Q£ⁿ, |a:| < 1 (szereg geometryczny)

1 2/ _n

2- «• = £

,n

n=0

oo

n=0

3. sin x — ^ (—.l)ⁿ

x

2n+l

X

n!

oo

n=0

(2/1 + 1)!*

x £ R

4. cosz = ]T(-l)ⁿ

5. (1 + s)

OO /    \

n=0 ' '

|a:| < 1 , gdzie

- (“) -

n=0

X £ R

x²ⁿ (2 n)l*

x £ R

a(a - l)(a — 2)... (a - n -1-1)

1-2-3

■n