skan0001

3. SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

3.1. Szeregi liczbowe

Niech dany będzie nieskończony ciąg liczb

fll , &2j ’ ’ ' , &n, * ' " •

Utwórzmy ciąg {5_n} określony wzorem:

Sn 0>k'

Szereg liczbowy

00

E“"    . (3-U)

n=l

nazywamy zbieżnym, gdy ciąg jego sum częściowych {5_n} jest zbieżny do granicy właściwej, tzn.

S = lim S_n,

n—»oo

natomiast jest on rozbieżny w przypadku przeciwnym. Granicę właściwą S nazywamy sumą szeregu.

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu (3.1.1) jest, aby

lim a_n = O,    (3.1.2)

' »—► oo

co oznacza, że jeżeli warunek (3.1.2) nie jest spełniony, to szereg (3.1.1) jest rozbieżny. Warunek (3.1.2) nie jest warunkiem dostatecznym, a przykładem szeregu, który spełnia warunek (3.1.2), a nie jest zbieżny, jest szereg harmoniczny:

oo ,

El

Podamy teraz ważniejsze kryteria zbieżności szeregów liczbowych. Kryterium porównawcze. Jeżeli wyrazy szeregów

00

T.

%

fl&l

oraz

sa nieujemne, a ponadto istnieje liczba naturalna M taka, że dla każdego n> M jest spełniona nierówność: a_n < b_n, to:

00    oo

(a)    ze zbieżności szeregu ^2 b_n wynika zbieżność szeregu ^ a_n,

ń—l    i-"-*'

OO    -

(b)    z rozbieżności szeregu ^ a_n wynika rozbieżność szeregu b_n.

71=1    ’    '    "

Stosując kryterium porównawcze, często korzystamy z szeregów Dirichleta i geo? metrycznego. Szereg Dirichleta jest uogólnieniem szeregu harmonicznego i ma postać

OO j

HI _: ■

ra= 1

gdzie p jest dowolną liczbą rzeczywistą. Szereg (3.1.3) jest zbieżny dla p > 1 oraJj jest on rozbieżny dla p <1.

Szereg geometryczny ma postać:

oo

y ^r

n=i

gdzie a, oraz q są stałymi. Łatwo zauważyć, że dla a = .0, szereg (3.1.4) jest zbieżny i ma sumę równą 0. Jeżeli a ^ 0, to szereg (3.1.4) jest zbieżny gdy, |g| < 1 i ma sumę równą -—-, natomiast jest on rozbieżny, gdy |^| > 1.

oo

Kryterium d’Alemberta. Dany jest szereg ^ a_n o wyrazach dodatnich. Jeżeli;

n=l

istnieje granica właściwa lub niewłaściwa

ma,

lim 22±1

n—*oo a_n

OO

to szereg 2J ^an jest zbieżny, gdy g < 1, natomiast jest on rozbieżny gdy g > 1.

n=l

Kryterium Cauchy’ego. Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa

lim = g,

n—»oo

oo

to szereg ^ a_n o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g < 1, natomiast jest on nad

rozbieżny, gdy u ■ I

Kryterium LcIIiiiIkh, Jeżeli dąg {a,,} o wyrazach dodatnich Jonii uleroHiiący

fj,i jg fiu & '' Om ? ' • ■ i oma lim fiu 0,