70
I. Teoria granic
Niech dany będzie ciąg przedziałów
<«!, b,>,(a2,b2},..., <a„, b„>, ...
z których każdy następny zawiera się w poprzednim — jak mówimy, ciąg przedziałów zstępujących — przy czym długości tych przedziałów dążą do 0 wraz z n-*co:
lim(i>„—an)=0.
Wówczas końce a„ i b„ przedziałów (z różnych stron) dążą do wspólnej granicy
c = lim a„ = lim b„,
tj. do jedynego punktu wspólnego wszystkich przedziałów.
Jest to tylko inne sformułowanie udowodnionego powyżej twierdzenia; zgodnie z warunkiem
an ^ an + 1 < + 1 ^ b„ *
czyli lewy koniec an i prawy koniec b„ n-tego przedziału grają tu rolę ciągów monotonicz-nych {xn) i {yn}.
Ponieważ an dąży do c rosnąc, a bn - malejąc, więc
(n = 1,2, 3, ...),
tj. punkt c rzeczywiście należy do wszystkich rozważanych przedziałów. Drugiego punktu c', różnego od punktu c, ale o powyższej własności być nie może, bo inaczej mielibyśmy
b„-an>\c'-c\>0,
i długość n-tego przedziału nie mogłaby dążyć do zera.
W dalszym ciągu będziemy się nieraz opierali na tym lemacie, który nosi nazwę lematu o przedziałach zstępujących.
39. Zasada zbieżności. Niech dany będzie ciąg {jc„} o wartościach (1) x1}x2, ...,xn, ...........
Zajmijmy się teraz ogólnym kryterium istnienia skończonej granicy dla tego ciągu. Sama definicja granicy temu celowi służyć nie może, bo występuje w niej już granica, o istnienie której pytamy. Potrzebujemy kryterium korzystającego tylko z tego, co wiemy, a mianowicie z ciągu (1) wartości x„.
Postawione zagadnienie rozwiązuje następujące ważne twierdzenie należące do czeskiego matematyka B. Bolzano i francuskiego matematyka A. L. Cauchy’ego; nazywamy je kryterium zbieżności.