0069

0069



70


I. Teoria granic

Niech dany będzie ciąg przedziałów

<«!, b,>,(a2,b2},..., <a„, b„>, ...

z których każdy następny zawiera się w poprzednim — jak mówimy, ciąg przedziałów zstępującychprzy czym długości tych przedziałów dążą do 0 wraz z n-*co:

lim(i>„—an)=0.

Wówczas końce a„ i b„ przedziałów (z różnych stron) dążą do wspólnej granicy

c = lim a„ = lim b„,

tj. do jedynego punktu wspólnego wszystkich przedziałów.

Jest to tylko inne sformułowanie udowodnionego powyżej twierdzenia; zgodnie z warunkiem

an ^ an + 1 <    + 1 ^ b„ *

czyli lewy koniec an i prawy koniec b„ n-tego przedziału grają tu rolę ciągów monotonicz-nych {xn) i {yn}.

Ponieważ an dąży do c rosnąc, a bn - malejąc, więc

(n = 1,2, 3, ...),

tj. punkt c rzeczywiście należy do wszystkich rozważanych przedziałów. Drugiego punktu c', różnego od punktu c, ale o powyższej własności być nie może, bo inaczej mielibyśmy

b„-an>\c'-c\>0,

i długość n-tego przedziału nie mogłaby dążyć do zera.

W dalszym ciągu będziemy się nieraz opierali na tym lemacie, który nosi nazwę lematu o przedziałach zstępujących.

§ 4. Kryterium zbieżności. Punkty skupienia

39. Zasada zbieżności. Niech dany będzie ciąg {jc„} o wartościach (1)    x1}x2, ...,xn, ...........

Zajmijmy się teraz ogólnym kryterium istnienia skończonej granicy dla tego ciągu. Sama definicja granicy temu celowi służyć nie może, bo występuje w niej już granica, o istnienie której pytamy. Potrzebujemy kryterium korzystającego tylko z tego, co wiemy, a mianowicie z ciągu (1) wartości x„.

Postawione zagadnienie rozwiązuje następujące ważne twierdzenie należące do czeskiego matematyka B. Bolzano i francuskiego matematyka A. L. Cauchy’ego; nazywamy je kryterium zbieżności.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
70 I. Teoria granic Niech demy będzie ciąg przedziałów <«!, b,>,(a2,b2},..., <a„,
Untitled 27 70 I. Teoria granic [38 Niech dany będzie ciąg przedziałów <ai,bl},^a2,b2y,
54 I. Teoria granic 8) Niech danych będzie m liczb dodatnich at, a2,    , am. Oznacza
skan0001 3. SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE3.1. Szeregi liczbowe Niech dany będzie nieskończony ciąg li
CCF20091117019 71 GRANICE FUNKCJI - DEFINICJE Niech funkcja f będzie określona w przedziale (axo),
CZESC< (1) Test 3 z Metod Probabilistycznych gr.M 1. Niech dany będzie wektor losowy (X, Y§ć rozkład
81851 img439 (2) DEFINICJA B. Niech funkcja / będzie określona w przedziale (—00, k), (odpowiednio w
54921 Obraz8 (32) Zadania (2 do wyboruj: 1. .Niech, dany będzie szereg statystyczny xi postaci: xi=

więcej podobnych podstron