81851 img439 (2)

DEFINICJA B.

Niech funkcja / będzie określona w przedziale (—00, k), (odpowiednio w przedzia le (k, +00)), keR. Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną lewostronną (odpowiednio asymptotą ukośną prawostronną) wykresu funkcji / wtedy i tylko wtedy,

qdy lim

^    ³ X—>-<»

m

(ax + b) = 0 (odpowiednio lim

f{x) - {ax + b)

= 0).

Jeżeli prosta y - ax + b jest jednocześnie asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną wykresu funkcji /, to nazywamy ją asymptotą ukośną obustronną wykresu tej funkcji lub krócej, asymptotą ukośną wykresu tej funkcji.

Rozumowania przytoczone do tej pory pozwalały nam wykazywać, że dana prosta jest asymptotą ukośną wykresu funkcji. Powstaje jednak pytanie, w jaki sposób można znaleźć równanie prostej, która jest asymptotą ukośną wykresu funkcji. Odpowiada na nie następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 7.

Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną lewostronną (odpowiednio prawostronną) wykresu funkcji / wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją (skończo

ne) aranice lim .= o oraz lim

X~>'OC X    X-*-o!

f(x)-ax\ = b).

oraz lim

X-»+0O

/ (x) - ax

= b (odpowiednio lim

X->+oo

m

Dowód.

Przeprowadzimy dowód dla asymptoty ukośnej lewostronnej. Dla asymptoty ukośnej prawostronnej jest on analogiczny.

Załóżmy najpierw, że prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji /. Z definicji 8. wynika, że

lim

X—>—oo

f(x) - (ax + b)

O.

Zatem

lim

X—>-oo

f{x) - (ax + b)

= O

(ponieważ licznik tego ułamka dąży do zera, a mianownik dąży do -oo, zatem cały ułamek dąży do zera). Dalej stwierdzamy, że

■ + b , ^f - = lim

X    x->-oo

a +

V

x

^: a.

mocy twierdzenia 5b na str. 25. otrzymujemy więc:

lim ^-M=||_m

X > -m X x-+-oo

= lim

X—>—00

j (x) - (ox + b) + (ax + b) x

f(x) - jax + b)

+ lim

ax + b

O + a = a.

X—>—co X

nleważ lim b = b, więc, znów korzystając z twierdzenia 5b, otrzymujemy:

X->-00

ax

= lim

x->-oo

f(x) - (ax + b)+ b

f{x) - (ax + b) llóżmy teraz, że istnieją granice (skończone)

lim

X—>—co

+ lim b = O + b = b.

X-»—OO

lim IM ₌

x—►—oo    X

a oraz lim

X—>-<»

m -^ax

= b.

ibec tego, że lim (-b) = -b, na mocy twierdzenia 5b, otrzymujemy:

X—>-00

1 lim

T# * '■

J {x) - (ax + b)

+ lim (-b) =

X—>—GO

m -^ax

= lim

X—>—CO

(/(*) -ax)-b b + (Hb) = O.

fi myśl definicji 8. oznacza to, że prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną le-iltronną wykresu funkcji /, co kończy dowód twierdzenia.

= lim

X—>—oo

MUYKIAD 17.

Wyznaczmy asymptoty ukośne wykresów funkcji:

•) / (^x) - _x + 1 ;

3x²

*0 m =

x| -2

Ad n) D_f= R- {-1}. Zbadamy najpierw istnienie asymptoty ukośnej lewostronny wykresu. Obliczamy

x² + 1

lilii ^ M = lim

4 I f#i X    x—>—co

(

- lim

X-»-«

^X² + 1

X + 1 X

= lim

X—>—00

_vx² + X ^—

= lim -

X—>—oo

1₊I

x

V

+00

= 1.