3582320736

4. POCHODNE FUNKCJI

4.1 PODSTAWOWE POJĘCIA Def.4.1.1 (iloraz różnicowy)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -oo < a < b < <*> oraz niech xo e (a,b), xo + Axe (a,b). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie xo odpowiadającym przyrostowi Ax 0 zmiennej niezależnej nazywamy liczbę

Af ^ f(x₀ + Ax)- f(x_Q)

Ax    Ax

Rys. 4.1.1

Ilustracja definicji ilorazu różnicowego

Fakt 4.1.2 (interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego)

Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (x<?, f[xo), (xo⁺ Ax, jf(xo+ Ax)) wykresu funkcji f do dodatniej części osi Ox;

Af

tga = — .

Ax

Def. 4.1.3 (pochodna właściwa funkcji)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -o° < a < b < °o oraz niech xo e (a₃b), xo + Ax e (a,6). Pochodną właściwą funkcji fw punkcie xo nazywamy granicę skończoną

w, s^def _v f(*)

f (*<,) = ^lim-

x„ ^A*-^>0 Ax

Uwaga. Jeżeli istnieje pochodna właściwa funkcji f w punkcie Xa to mówimy że funkcja f jest różniczkowalna w tym punkcie. Do oznaczenia pochodnej funkcji f w punkcie xo stosowane są

Jf

także symbole —(x₀), Df(x₀). dx

Fakt 41.4 (pochodne ważniejszych funkcji elementarnych)

Funkcja	Pochodna	Zakres zmienności
c	0	CG R
x^n	nx"“^l	ne N,xe R
x^p	px^p-^1	p e {-1,-2, -3,...}, x*0
x“	ocx^a~^l	a e R, x > 0
sin x	cosx	XG R
cosx	— sin x	X G R