25848

Iw. S.1.4 (o addytywności całki w zględem obszaru całkow ania)

Niech funkcja f będzie całkowalna na prostokącie P. Wtedy dla dowolnego podziału prostokąta P na prostokąty Pi, P2 o rozłącznych wnętrzach funkcja /jest całkowalna na tych prostokątach oraz

JJ f (*> y)dxdy = JJ f(x, y)dxdy + JJ f(x, y)dxdy

?    p,    r₂

Tw. 5.1.3 (o zamianie całki podwójnej na całki iterow ane)

Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = {(x,y): a<x<b,c<y<d}. Wtedy

o o    a o

<ly.

JJ f(x,y)dxdy = \ J f(x,y)dy dx = j J f(x,y)dx

Uwaga. Całki występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy krótko całkami iterowanymi funkcji f po prostokącie P. Będziemy pisali umownie

J dxj f(x, y)dy i jdyj f(x, y)dx,

a c

zamiast odpowiednio

dx i j jf(x,y)dx

dy .

J J Hx.y)dy

^a Lf

Fakt 5.1.6 (całka z funkcji o rozdzielonych zmiennych)

Jeżeli

1.    funkcja g jest ciągła na przedziale [a, b],

2.    funkcja fjest ciągła na przedziale [c,d], to

|| g(x)h(y)dxdy =    g(x)dx j-11 h(y)dy j.

gdzie P = [o,b] x [c,d].

3.2 CAŁKI PODWÓJNE PO OBSZARACH NORMAI.NYCII Def. 5.2.1 (całka podwójna po obszarze)

Niech funkcja /"będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D <z R* oraz niech P będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszar D. Ponadto niech f oznacza rozszerzenie funkcji f na R² określone wzorem:

’f{x,y)    dla    (x,y)eD

0    dla    (x,y)eR²\D

Całkę podwójną funkcji f po obszarze D definiujemy wzorem:

JJ f(x,y)dxdy = JJ f(x,y)dxdy_t

D    P

o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja /Jest całkowalna na obszarze D.

Uwaga. Całka JJ f (x,y)dxdy _{nje za}i_ejy od wyboru prostokąta P.