0117

119

§ 3. Obliczanie i przekształcanie całek oznaczonych

10) Niech funkcja/(x) będzie funkcją ciągłą i okresową o okresie równym co; tzn. że/(x+cu) = = /(*) dla dowolnego x. Wtedy w każdym przedziale o długości równej okresowi a> całka z tej funkcji ma zawsze tę samą wartość, czyli

J /(*) dx = f f(x) dx .

«+0 O o fłO

Dla dowodu rozbijamy pierwszą całkę na sumę trzech całek: J = J + J + / iw ostatniej

a « O W

0 a+O

z nich dokonujemy podstawienia x = t+a>; w ten sposób upewniamy się, że całki j i / różnią się

a CO

tylko znakiem.

11) Udowodnić, że

J xf (sin x)dx = j | /(sin x) dx,

gdzie /(«)jest dowolną funkcją ciągłą w przedziale <0,1>.

Wskazówka. Wykonać podstawienie x = -n—t.

12)    Udowodnić, że

2X    «

J tp(a cos 0+b sin 0) dO — 2 J q> (]/a¹+b² cos A) dX , o    o

gdzie <p (u) jest dowolną funkcją ciągłą dla |u| <|/a²+ó¹.

Określając kąt a za pomocą wzorów

a    b

cos a =    ■, sina =    -,

^a²+b²    }/a²+b²

mamy

a cos 0+b sin 8 = ]/a²+b² cos (6—*).

W myśl (10) możemy napisać

j ę>(acos0+ósin0)d0 = j <p [ |/a² -f- ó² • cos (0 — >)] dO

O    <*—TC

lub (jeśli przyjąć oznaczenie 0— <x «= A i posłużyć się całką 9))

TC    TC    __

j <p (\/a²Ą-b² cos A) dl = 2 f q> (]/a²+b* cos A) dX .

-TC    O

13)    Udowodnić, że

TT/2    TT/2

J <7 (sin 2w) cos udu = J g (cos²t>) cos v dv, o    o

gdzie g (z) jest dowolną funkcją zmiennej z ciągłą w przedziale <0,1>.

*/2    n/4    n/2

Przedstawiamy pierwszą całkę w postaci sumy dwóch całek / — / -f- / , a następnie podsta-

o    o n/4

wieniem u — —•tz—u' sprowadzamy drugą z tych całek do przedziału <0, —t:}. Otrzymujemy

TT/4

J g (sin 2m) (cos w+sin u) du.