0119

121

§ 3. Obliczanie i przekształcanie całek oznaczonych

Ostatnią z otrzymanych całek sprowadzamy przez podstawienie t — 2n—u (gdzie u zmienia się od ic do 0) do pierwszej z nich; w ten sposób otrzymujemy

2/(r) = /(r²),

a stąd

Hr) = jl (r²).

Zamieniając w tej równości r na r², a następnie powtarzając tę operację odpowiednią ilość razy, łatwo otrzymuje się wzór ogólny

I(r) = -±-I(r²’)    (* = 1,2,3,...).

2"

Niech teraz będzie |r|<l, wobec tego r²"-*-0, gdy n-yoc; ponieważ wówczas (zgodnie z uwagą na początku) I (r²")-<-0, musi przeto być tożsamościowo

/(/•) = 0 dla |r| < 1 .

Łatwo jest już teraz obliczyć tę całkę również dla kl<I. Rzeczywiście z równości 1 — 2r cosx+r² = r¹ |l —2 — cos .*H-    ,

mamy

In (1 — 2r cos x+r²) = 2 ln kl+ln ^1 —2 — cos x + -yj ,

a stąd przez całkowanie stronami w przedziale od 0 do * otrzymujemy

/ (r) = 2ir ln |r|+/(l/r).

Z poprzedniego wiemy jednak, że /(l/r) = 0, więc dla |r|>l mamy

/(/-) = 2tu ln |r|.

Ten sam wynik otrzymaliśmy w ustępie 307.

315. Wzór Gaussa. Przekształcenie Landena. Jako jeszcze jeden przykład zamiany zmiennych rozpatrzymy godny uwagi wzór na przekształcenie całki

n/2

G= f    ^dV-    (a>b> 0),

|/a¹ cos²ę>+ó² sin²ę>

odkryty przez Gaussa.

Podstawmy tu

sin if =

_2a sin 8_

(a+b)+(a—b) sin²0

łatwo spostrzec, że jeśli 0 zmienia się od 0 do rc/2, to <p zmienia się w tych samych granicach. Różniczkujemy ostatnią równość

cos <pdę= 2a

(a+b)—(a—b) sin²0 [(a + b) + (a — b) sin²0]²

cos 0dO.

Mamy jednak

cos 9: =

]/(a + b)² —(a—b)¹ sin²8 _{coz Q} (a+b)+(a—b) sin²0