0121

123

§ 3. Obliczanie i przekształcanie całek oznaczonych

Na odwrót, całka G sprowadza się do całki eliptycznej zupełnej (‘) pierwszego rodząju

G

-4

a J

o

dtp

a¹—b² /»¹

sin²ę>

którą łatwo można znaleźć z tablic; a stąd znąjduje się p.

Rozpatrzmy teraz całkę eliptyczną zupełną pierwszego rodząju

Km-f

dy

1—A:¹sin^afl»

dla dowolnej wartości k otrzymujemy tę całkę z G, gdy

a = 1 i b = j/l-F = W .

Aby zastosować do tej całki wzór Gaussa, obliczamy przede wszystkim a_u b_t i k_t:

i±l^L = M, bi = j/F,

a,

t. _ JHEE- =    , J--1+¹,,

1+Ar' Oi

a i

zatem

n/2    n/a

f ^...— -(i+k,) f

„ |/l—A:² sin²ę>    j y 1—A:} si

sin²0

czyli

AT(¹) = (!+¹,) AT (ta).

Wzór ten jest równoznaczny ze wzorem Gaussa, był jednak w rzeczywistości znaleziony wcześniej i jest szczególnym przypadkiem tzw. przekształcenia Landena.

Iterując ten wzór, otrzymujemy

AT (Ar) = (1+A:i) (1+At₂) ... (1+Ar.) AT (Ar.) ,

przy tym ciąg {Ar,} jest określony indukcyjnie wzorem

tak więc

.    1 -Vl-k²,.i

^Kn —    »

i+yi

0 < Ar, < 1 i Ar, < ArJ__t .

Nierówności te zapewniają szybką zbieżność ciągu {Ar,} do zera, gdy n-¹- x>. Jednocześnie jest

"^,2 1— j/l—k¹ sin²ę>    1- ]/1^—Ar²

«/2

0 < AT (Ar,) —= f

dtp

✓i

--—= r

2 J

sm‘<p

}f 1 —Ar² sin²ę>

1

Całkami zupełnymi nazywają się całki AT (Ar, <p) i E(k, <p) Legendre’a [293, 303] dla <p = -i-jr: w tym przypadku w ich oznaczeniach opuszcza się zazwyczaj drugi argument, pisząc AT (Ar), E (Ar). Dla tych całek są ułożone specjalne tablice.