0111

§ 3. Obliczanie i przekształcanie całek oznaczonych

113

z którego pomocą całkę J_m sprowadzamy kolejno do J₀ lub do Ji. Jeśli mianowicie m — 2n, to mamy

nu

jeśli zaś m = 2w+1, to

Dokładnie ten sam wynik otrzymuje się również dla całki J„.

W celu krótszego napisania znalezionych wyrażeń posłużymy się symbolem mil (*). Wtedy możemy napisać

(8)

f sin"* dx = f cos"* dx = o    o

2) Udowodnić wzory

nil

(a)    J cos"* cos(m+2) *dx = 0, o

Jt/2

(b)    f cos"* sin (m+2) * dx

m+1

——• — dla m parzystego, ml! 2

(wi—1)!!

ml!

dla m nieparzystego.

nu

(0/ sin"* cos (ifi+2) x dx =

sin -ż mn

o

nu

m+1

(d) J sin"* sin (»i+2) * dx =

cos — mn 2

m+l

gdzie m jest dowolną liczbą naturalną.

Rozpatrzmy całkę

ni 2

J cos"⁺²* cos (iw+2) * dx , o

którą dwukrotnie całkujemy przez części.

n/2

f cos”⁺²* cos (m+2) * dx = —^— [cos”⁺²* sin (m+2) *—cos"⁺¹* sin * cos (m+2) *] ■>    m + 2

o

n/i

+

H--^— f [—(m+l) cos"* sin²*+cos"⁺²*] cos (m+2) * dx.

m+2 J

m+2

U

Pierwszy składnik ostatniej sumy równa się 0. Zamieniając pod znakiem całki sin²* na 1-cos²*, otrzymujemy równość

ni 2    n/i    n/2

m+l

J cos"⁺²* cos (m + 2) x dx =

o

skąd wynika już równość (a).

m+2

J cos"* cos (m+2) * dx+ J cos"+²* cos (m+2) * dx ,

(') Przypominamy, że ml! oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych niewiększych od m i parzystych, jeśli m jest parzyste, a nieparzystych, jeśli m jest nieparzyste.

8 Rachnek różniczkowy