0113

115

§ 3. Obliczanie i przekształcanie całek oznaczonych

Stosiyąc kilkakrotnie ten wzór otrzymujemy

f (1 —¹)'²</¹ =» -—■—•'^ł- -—— (x’dx j    (p+ł+l)(/>+ff) ... (ł+2) •'

i ostatecznie

f (I-¹)'¹«</¹

P- 9-

(P+Q+1)!

6) Jeżeli we wzorach (IV) z ustępu 287 przejść przy naturalnych p i v do całek oznaczonych, to wykorzystując wynik przykładu 1) można otrzymać wzór ogólniejszy

ⁿL²

j sin'¹ cos'¹¹ d¹ ■

——łllliźf—łlli • —    dla p i v parzystych ,

(y+p)U    2

(y—l)j!    _we ws^skjch pozostałych przypadkach.

(»+/<)!!

313. Wzór na zamianę zmiennej w calce oznaczonej. Ten sam wzór podstawowy (A) posłuży nam do wprowadzenia reguły zamiany zmiennej pod znakiem całki oznaczonej.

b

Przypuśćmy, że należy obliczyć całkę ff(x) dx, gdzie /(¹) jest funkcją ciągłą w prze-

m

dziale <a, b}. Przyjmijmy x «= <p (/), przy czym funkcja <p (t) spełnia następujące warunki:

1)    V (0 jest określona w pewnym przedziale <a, /?> a jej wartości nie wykraczają poza przedział (a, bj (¹), gdy t zmienia się od a do fi;

2)    <p (a) = a, <p (P) = b \

3)    w przedziale <a, /?> funkcja <p (t) ma ciągłą pochodną <p'(t).

Przy tych założeniach prawdziwy jest wzór

(9)    Jf(x) dx = jf(<p (t)) <p\t) dt.

a    a

Dzięki założeniu, że funkcje podcałkowe są ciągłe, istnieją nie tylko te całki oznaczone, ale również odpowiednie całki nieoznaczone, a więc w obu przypadkach możemy posłużyć się podstawowym wzorem całkowym. Jeśli dalej F(x) oznacza jedną z funkcji pierwotnych pierwszej różniczki/(¹) dx, to funkcja 0 (t) = F(<p (t)) jest, jak wiemy, funkcją pierwotną drugiej różniczki / (ę (t)) <p'(t) dt [porównaj 268]. Dlatego też mamy jednocześnie

ff(x)dx = F(b)-F(a)

a

oraz

jf (9 (0) <p’(t) dt = 0(p) — 0 (a) = F (<p (I?))+F (<p (a)) = F (b)+F (a),

a

a stąd wynika już dowodzona równość.

1

Może się zdarzyć, że funkcja/!¹) jest określona i ciągła w przedziale <A, Jł> większym niż <a, by;

2

wtedy wystarczy zażądać, żeby wartości funkcji q> (f) nie wykraczały poza przedział (A, By.