0105

107

§ 3. Obliczanie i przekształcanie całek oznaczonych

nicę po lewej stronie wzoru (A) oznaczamy zazwyczaj f(jr)j‘ („podwójne podstawienie od a do b”) i wzór ten piszemy w postaci

(A*)    f f(x) dx = F(x)|a .

a

Tak na przykład znajdujemy od razu:

x^¹ M + l

1) fx^l‘dx =

* _ _blt+l__aH+l

m /«+ł

-1),

2) f —- = ln jrf = ln b—ln a (a > 0, b > 0), J x    '*

b

3) J sin x dx = —cos jc|_a = cos a—cos b.

J cos x dx = sin jt|* = sin 6—sin a.

m

Wyniki te nie bez trudu otrzymaliśmy już w poprzednim ustępie [porównaj przykłady 1), 2),

3)] C‘).

309. Przykłady. Podamy dalsze przykłady zastosowania wzoru (A):

4) (a) f sin mx sin nx dx = — \ ^sin ^^m~ⁿ^ ^x - sin (m+n) x |[« _ _Q (_n*n).

2 ( m—n    m+n J|-»r

(b) f sin² mx dx =    [x—^{sin 2m}*||” =n [patrz 267, 17, 18)].

2 L 2m J|-_n

Analogicznie

TC

(c)    J sin mx cos nx dx = 0 ,

(d) J cos mx cos nx dx = 0 lub 5t, zależnie od tego, czy n £ m, czy n — m .

5) Znaleźć wartość całek (m, n — liczby naturalne):

rc/2    W/2    2

_(a) r sin (2w— 1) x _dX' _(b r /lin^) _dx.

J    sin x    J \ sin x /

o    o

Wskazówka, (a) Ze wzoru (2), podstawiając a = 0, h — 2x i n — w—1, można otrzymać, żc

| + 1>s2/.r= ^sin    ,

2    “    2 sin x

(') Całki z przykładu 4) z poprzedniego ustępu nie można jednak tak prosto obliczyć, gdyż odpowiednia całka nieoznaczona nie wyraża się przez funkcje elementarne w postaci skończonej.