0109

111

§ 3. Obliczanie i przekształcanie całek oznaczonych

Do każdej różnicy stojącej pod znakiem sumy zastosujemy wzór na przyrost skończony — warunki stosowalności tego wzoru są tu spełnione. Wtedy otrzymujemy

F (b)—F (a) = Y_iF'(h)(x_l+l-x,) ,

(=0

gdzie Si jest pewną określoną (chociaż nieznaną nam) wartością zmiennej x, zawartą między x_t i x_i+l. Ponieważ w takich punktach f, mamy F'(li) =/(?()» więc możemy napisać

F(6)-F(<i) = §/({,) J*

i* O

Po prawej stronie otrzymaliśmy sumę całkową a dla funkcji f (x). Założyliśmy jednak, że suma a ma określoną granicę przy A -*• O, niezależną od wyboru punktów . Zatem w szczególności nasza suma, zachowująca (przy wskazanym wyborze tych liczb) stałą wartość, także jest zbieżna do całki, stąd zaś wynika, że

F(b)-F(a) = jf(x)dx.

a

W poprzednim ustępie obliczaliśmy za pomocą wzoru podstawowego całki oznaczone. Jednakże wzór ten można stosować i w przeciwnym kierunku. Zastępując we wzorze podstawowym b przez x, a f(x) przez F’(x) możemy napisać go w postaci

b

F(x) = F(a)+ j F'(t) dt.

a

W ten sposób za pomocą procesu granicznego (gdyż całka oznaczona jest przecież granicą) można „zrekonstruować” funkcję pierwotną F (x), jeśli tylko dana jest jej pochodna F'(x). Wynika stąd zresztą, że pochodna jest nie tylko ograniczona, lecz także całkowalna według definicji Riemanna, co nie zawsze zachodzi.

311. Wzory redukcyjne. Widzieliśmy, że w sprzyjających warunkach wzór podstawowy rachunku całkowego od razu daje wartość całki oznaczonej. Z drugiej strony za pomocą tego wzoru różne wzory z teorii całek nieoznaczonych można przekształcić w analogiczne wzory dla całek oznaczonych, sprowadzając obliczanie jednych całek do innych (na ogół prostszych).

Mamy na myśli przede wszystkim wzór na całkowanie przez części

i jego uogólnienie [270, (3) i (5)], a także inne tego rodzaju wzory [271, (6); 280; 287], częściowo na nim oparte. Ogólna postać wzorów, jakie będziemy rozpatrywać, jest następująca:

(4)    J7(x) dx = <p(x)~ Jg (x) dx .

Jeśli obszarem, w którym można stosować ostatni wzór, jest przedział <a, b}, to można