0141

143

§ 5. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych

x dx

za pomocą wzoru Simpsona z dokładnością do 0,001.

Dla funkcji/(jt) = j/1—j- sin²* w przedziale (0, -j-7t) mamy|/^<4,(.v)|< 12 ('),a więc [patrz (16)]

l*.l<

(K    , , 2 1

180-(2/t)⁴    3    (2/i)* ’ bo <10. Weźmy n = 3, będzie wtedy |/J₃|<0,00052. Obliczamy

x0	= 0	(o°)		yo	= 1,0000
Xi/2	12	*05°)	4yt/2 =	= ]/12+ \/n	= 3,9324
Xi	_ 1 6	Tt (30°)	2.i'i •	= ]/l4l2	= 1,8708
•*3/2	_ 4	71(45°)	4y3/2 =	= ]/\2	= 3,4641
*2	_ ± 3	n (60°)	2>>2 =	= \/lÓ 12	= 1,5811
*5/2	— _J_ 12	77 (75°)	4>'s/2 =	= j/12— ylT	= 2,9216
*3	_ J_ 2	r (90°)	“	= j/2/2	= 0,7071

Suma 15,4771

1,35063 ...

_k . 15,4771 2 ' 18

Do otrzymanego wyniku oprócz poprawki R₃ należy dodać jeszcze (nieujemną) poprawkę na zaokrąglenie rzędnych, która nie przekracza    ¹ ” <0,00003.

36

W ten sposób mamy

1,35011 < E< 1>35118

i możemy twierdzić, że E(l/y2 )= l,351±o.ooi-

(W rzeczywistości w otrzymanym wyniku 1,35063 wszystkie cyfry po przecinku są dokładne).

5) Obliczyć za pomocą wzoru Simpsona całkę

i

W = jf e~^xldx o

z dokładnością do 0,0001.

Obliczamy bezpośrednio czwartą pochodną funkcji podcałkowej i przekonujemy się, że jej wartość bezwzględna w rozpatrywanym przedziale jest mniejsza niż 12; a więc

IK.I <

12

180-(2«)⁴ '

(*) Jest oczywiście y = f(x)>—_7=r ; różniczkując stronami tożsamość y² =1 —sin²x, łatwo jest

V 2

po kolei oszacować z góry wartości bezwzględne pochodnych y\y", y’" i y^<4>.