0135

137

§ 5. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych

który nazywa się wzorem Simpsona. Wzór ten jest częściej używany do obliczania przybliżonego całek niż wzory prostokątów i trapezów, gdyż przy tym samym nakładzie pracy dąje on zazwyczaj dokładniejszy wynik.

i

Dla porównania obliczymy jeszcze raz całkę

S

dx

1+X^ł

[porównaj 322] stosując wzór

Simpsona.

o

Przyjmiemy n — 2, tak że w tym przypadku ilość rzędnych będzie nawet mniejsza niż poprzednio. Obliczamy z dokładnością 3 miejsc po przecinku

0,	^XU2 — -J-,	Xi		Xj/i — j, xz — 1 ;
1,	4y„2 = 3,76471,	2y,	- 1.6,	4j-i/2 = 2,56, yi = 0,5;

-i-(1 + 3,76471 +1,6+2,56+0,5) = 0,78539 ...

W otrzymanym wyniku wszystkie 5 cyfr po przecinku są dokładne!

Również w przypadku wzoru (10) można powtórzyć uwagę podaną na końcu ustępu 322. Przejdziemy teraz do oszacowania błędu, jaki popełniamy przy stosowaniu wzorów przybliżonych.

325. Błąd dla wzoru prostokątów. Na początek rozpatrzymy wzór (4). Zakładamy, że w przedziale <o, by funkcja/(ar) ma ciągłe pierwsze dwie pochodne. Rozwijając funkcję/(ar) względem potęg dwumianu x— , według wzoru Taylora [126, (13)], z zachowaniem drugiej potęgi tego dwumianu, otrzymamy dla wszystkich x z przedziału <a, 6) równość

/<*)=/(^) + (*- ^)/' (^) + jr (*- ^ V"d).

gdzie I jest liczbą leżącą między x i na ogół zależną od x.

Jeśli scałkujemy tę równość stronami w przedziale <o, by, to drugi składnik po prawej stronie odpadnie, bo

01)

m

W ten sposób otrzymujemy równość

J7(x) dx = (6-n)/(    ) + -i- J/"({) (x-    dx,

• 0

a więc błąd, czyli różnica między dokładną wartością a prawą stroną wzoru (4), ma postać

m

Oznaczmy przez m i M odpowiednio najmniejszą i największą wartość w przedziale <a, ó> funkcji ciągłej/"(x) [85]; opierąjąc się na tym, że drugi czynnik wyrażenia podcałkowego nie zmienia znaku, możemy napisać, w myśl uogólnionego twierdzenia o wartości średniej [304,10°],