0557

559

§ 5. Przybliżone obliczanie całek niewłaścisych

w przypadku gdy a> 1 całka ta jest rozbieżna i rozumiemy ją w sensie wartości głównej:

=    1^7-"?.(/*+ f)Ł

O    O    Ił*

[patrz 484].

Niech najpierw a<l. Przyjmijmy a = e-^x dla *>0 i dokonajmy w całce (12) podstawienia u = e'¹:

(13)

«(«-*)= - J ~-dt.

Podstawiając / = .x+», otrzymamy całkę

(14)    li (*-*) = -«■-* f

J x+v o

Ponieważ

1_1 v , v^x i { ty*-¹ <’*~* i ( iw ^

_rJ_„    „    v*2 ^T    •    • ^{K J)    +(}    ”    *•(*+„)    ’

li (e~^x) = -e~^x (J---T + Ą- ~ TT + •• +(“^ ⁽"~^1>! +^ł'-(-v)},

(x    r .r    x*    )

-V+t» X    X■

wiec stąd wynika [489,4], że

(15)

gdzie reszta ma postać całki (15a)

09

r.(x) = (-!)■/

x*(*+v)

Jeżeli odrzucimy tę resztę i przedłużymy rozwinięcie do nieskończoności

(16)    li («-) ~ - _e-* j-Ł - -1. + -gi - ... +(-iy-» ^(,,~^1)!- + ...},

IX .V²    .V³    X*    J

to otrzymany szereg będzie wyraźnie rozbieżny, gdyż stosunek następnego wyrazu do poprzedniego

n_

x

oo, gdy n

00 .

Ze wzoru (lSa) widać jednak, że reszta ma znak pierwszego odrzuconego wyrazu szeregu i jest co do bezwzględnej wartości mniejsza od tego wyrazu:

»i

o.

CO

M-v)| < -;_t- J e~'v"dv 0

A więc szereg (16) oscyluje wokół funkcji li (e~^x) i jednocześnie jest jej przedstawieniem asymptotycznym [463]. Z § 6 poprzedniego rozdziału czytelnik wie, że taki szereg można wykorzystać do rachunków przybliżonych. Najlepszy wynik otrzymamy, gdy n = [*].

(‘) W rozpatrywanym przypadku, gdy a< 1, rozwinięcie asymptotyczne (16) i resztę szeregu można otrzymać przez wielokrotne całkowanie (13) przez części. Droga ta nic nie dąje w przypadku a> 1.