0133

135

§ S. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych

spełniający taki warunek jest, jak wiemy [128], jednoznacznie określony i można go wyrazić wzorem interpolacyjnym Lagrange'a:

/(f o) +

p (_x) = (x-St)(x-(₂) • •• (■*-&)

(x-£o) (jc-Ij) ■■■ (.r-lt)

/(I.)

(*- £o) (x—S,) ... (x    .

Do scałkowania otrzymuje się w ten sposób wyrażenie liniowe względem /(|₀).....f(St), którego

współczynniki nie zależą już od tych wartości. Współczynniki te można wyznaczyć raz na zawsze i posługiwać się nimi przy obliczaniu przybliżonym całki dowolnej funkcji f(x) w danym przedziale <a, by.

W najprostszym przypadku dla k = 0 funkcję /(x) zastępujemy po prostu stałą /(f₀), gdzie fo jest dowolnym punktem z przedziału <a, by, na przykład jego środkiem f₀ = (o+6)/2. Wtedy w przybliżeniu mamy

(4)    //(*) dx * (b-a)f{^±^ .

Interpretując geometrycznie ten wzór widzimy, że pole figury krzywoliniowej jest tu zastąpione przez pole prostokąta o wysokości równej rzędnej funkcji f{x) w środku przedziału.

Przy k = 1 funkcja f(x) zostaje zastąpiona przez funkcję liniową P_L(x), która dla x — Ho i a- = f, ma takie same wartości jak f(x). Jeśli przyjąć f₀ = a i fi — b, to będzie

(5)

i jak łatwo sprawdzić

PiW =    ~——f(b)

a—b    b—a

f Pi(x) dx = {b-a) £i^a).±ISPl. ^J 2

W ten sposób otrzymaliśmy w przybliżeniu

(6)

jf(x)dx * (b-a) AW.tfW. .

Tym razem pole figury krzywoliniowej zostało zastąpione przez pole trapezu: zamiast krzywej bierze się cięciwę łączącą jej końce.

Mniej trywialny wynik otrzymujemy biorąc k = 2. Jeśli przyjąć £₀ = a,    * , f₂ = ó, to wie

lomian interpolacyjny P₂(jc) będzie miał postać (7)

Pi(x) =

(x-b)

-/(*)+

(a—b)

(jr-a) (.r-6)    f(^a+b

Cr —a)

(b — a)

f7)

7¹)

/(*).

Za pomocą łatwego rachunku otrzymujemy

* U-iLt*

f A-U-*    2 f L_b)+ b-ąl

■ (^a

b) dx

(b-aY [

(x-by , b-a (x-b)¹

b—a

6