0137

139

§ 5. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych

Dla przykładu powrócimy do obliczenia całki J ^    , przeprowadzonego w ustępie 322. Dla

O

1    3jr² — i

funkcji podcałkowej /(*)—    -y ,mamy f*' (*)=2 _n , ^ . W przedziale <0,1) pochodnała zmienia

i *7*x    (i x y

znak. ale jej wartość bezwzględna jest mniejsza niż 2. W myśl wzoru (13) mamy wobec tego |/ł_lol< <0,85-10³. Obliczaliśmy rzędne z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, czyli z dokładnością do 0.00003; łatwo, zauważyć że błąd pochodzący z zaokrąglenia może być włączony do podanego przed chwilą oszacowania. Prawdziwy błąd jest oczywiście mniejszy niż to oszacowanie.

326. Błąd dla wzoru trapezów. Zajmiemy się teraz wzorem (6) przy poprzednich założeniach o funkcji /(.r). W myśl wzoru interpolacyjnego Lagrange'a z resztą [(129, (7)] możemy napisać [patrz (5)]:

/(jf) = P,(x)+ y/"(<}) (x—a) (x — b)    (a <~i < b) .

Całkując ostatnią równość stronami od a do b otrzymujemy

h    h

J f(x) dx = (b-a) fS^+flb) + Y f S W (x — a) (x — b) dx .

a więc błąd we wzorze (6) ma postać

(! = y //"(»?) (-»—«) (x — b) dx .

a

Rozumując podobnie jak wyżej i opierając się na tym, że drugi czynnik funkcji podcałkowej nie zmienia znaku, znajdujemy

e = \! (1*) J (Jf-«) (ar—6) dx = - ^ib~~- /"(>7*> (« < V* < b).

a

Ostatecznie w przypadku dzielenia przedziału na n równych części mamy

(14)    /?■ = - ^{b~^a}ⁱ ("(<!) Ui < t] < b).

12 rr

Jest to właśnie błąd dla wzoru trapezów (2). Gdy n rośnie wyrażenie to maleje mniej więcej jak 1 jn². Widzimy więc. że użycie wzoru prowadzi do błędu tego samego rzędu, co i wzór prostokątów.

327. Błąd dla wzoru Simpsona. Rozpatrzmy wreszcie wzór (8). Podobnie jak wyżej można by i teraz posłużyć się wzorem interpolacyjnym Lagrange’a z resztą [129(7)] i napisać [patrz (7)]:

(15)    f(x)PAx)+£^p-(x-a)\x--±t^U-b)    (o < I' < b).

Jednakże natrafiamy tu na tę samą trudność, co i w ustępie 323 [patrz uwaga]. Mianowicie, całkując równość (15), nie moglibyśmy uprościć błędu za pomocą twierdzenia o wartości średniej, ponieważ wyrażenie {x—a)[x— ^a~^^b jtJT— b) z funkcji podcałkowej zmienia w tym przypadku znak w przedziale (a, b}. Dlatego postąpimy inaczej. Dla dowolnej liczby K wyrażenie

P₂(z)+KU-a) (r-    (z-6) ,