0139

141

§ 5. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych

występującej we wzorze (16), zauważmy, że funkcja f(x) =    jest pochodną funkcji y — arc tg *’

a więc możemy użyć tu gotowego wzoru [116, 8)J. Według niego mamy

/^,4,(x) «= y⁵' = 24 cos⁵y sin 5 (>+    = 24 cos⁵.vcos 5y ;

wartość bezwzględna ostatniego wyrażenia nie przewyższa 24, zatem ze wzoru (16) otrzymujemy |/?₂|< ^<*i92o'    ■*^a*^c widzieliśmy, w rzeczywistości błąd jest znacznie mniejszy.

Uwaga. Z tego przykładu jest widoczne, że oszacowanie błędu za pomocą naszego wzoru jest dość grube. Niestety, podobne sytuacje zdarzają się nierzadko i to jest praktyczna wada wyprowadzonych wzorów.

Tym niemniej właśnie dzięki tym wzorom, pozwalającym z góry oszacować błąd, można wykonywać przybliżone obliczenia całek oznaczonych.

Przechodzimy teraz do przykładów.

2

328. Przykłady. 1) Obliczymy całkę J —— = In 2 z dokładnością do 0,001, posługując się wzo-

i

rem prostokątów.

1 2

Ponieważ druga pochodna funkcji /(.v) ——spełnia nierówności 0</"(.v) =    <2 (jeśli

l<x<2),więc ze wzoru (13) mamy

0

Rn <

1

12h² '

Jeśli przyjąć n = 10, to błąd naszego wzoru spełnia nierówność R_t0< <0,84 • 10—\ Musimy jeszcze uwzględnić błąd powstający przez zaokrąglenie wartości funkcji; postaramy się o to, żeby błąd ten

był mniejszy niż 0,16* 10³. W tym celu wartości funkcji -i- będziemy obliczali z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, tj. z dokładnością do 0,00005. Mamy

X1/2 =	1,05	J’i/2 = 0,9524
*3/2 ^=	1,15	J’3/2 ^= 0»8696
*3/2 ^=	1,25	ysn = 0,8
*7/2 =	1,35	yin = 0,7407
Jfy/2 —	1,45	>9/2 = 0,6897
*11/2 “	1,55	>../2 = 0,6452
>"13/2 =	1,65	>13/2 = 0,6061
*13/2 =	1,75	>is/2 = 0,5714
*17/2 =	1,85	>i 7/2 = 0,5405
*19/2	1,95	yi o/2 ® 0,5128
Suma 6,9284

= 0,69284

Biorąc pod uwagę, że poprawka dla każdej rzędnej (a więc również i dla średniej arytmetycznej tych rzędnych) jest zawarta między —0,00005 a +0,00005 i uwzględniając oszacowanie błędu R_i0, znajdziemy, że liczba ln 2 leży między 0.69279 - 0,69284- 0,00005 i 0,69373 = 0,69284+0,00005+0,00084, a więc między 0,692 i 0,693. W ten sposób ln 2 = 0,693±0,001.

2) Obliczymy to samo za pomocą wzoru trapezów. W tym przypadku w myśl wzoru (14) mamy