lastscan46

h = -Jf\U

' l-l

czyli

+W-1.    I

Zauważmy, żc iloczyn występujący we wzorze (3.49).

n<i₊tf>>.    0.5 il

y-i

oznacza łączny czynnik oprocentowania kapitału początkowego P w cią,

m podokresów. Gdy zatem znamy podokresowe stopy jj¹*, ip.....ł*“ z it kolejny*

podokresów roku, wówczas roczny czynnik oprocentowujący obliczamy jako

_P-n (•+«">.    (3.5:

y-«

stopa efektywna zaś, zgodnie z zależnością r_e{ = p— 1, jest wtedy dana wzorem

*

*ł.-n «+«•>-«•    <3.s

j-i

Przykład 3.22

W ciągu ostatniego roku oprocentowanie rachunku bankowego było zmienia wielokrotnie. W pierwszym półroczu stopa nominalna wynosiła 12%, a odset kapitalizowano co kwartał. Począwszy od trzeciego kwartału odsetki by kapitalizowane co miesiąc, stopa nominalna zaś wynosiła: 10% w okres lipiec-wrzesień, 9% w okresie pażdziemik-listopad oraz 8% w grudniu. Obliczymy]

a)    efektywną stopę oprocentowania rachunku.

b)    przeciętną stopę kwartalną,

c)    wartość kapitału 10 tys. zł na koniec roku.

a) W celu uporządkowania obliczeń prowadzących do efektywnej stopy

oprocentowania rachunku określimy najpierw wartości kwartalnych czynników] oprocentowujących w kolejnych kwartałach. Skoro w ciągu pierwszego półrocza odsetki podlegały kapitalizacji kwartalnej, a stopa nominalna wynosiła 12%. taj czynnik oprocentowujący wynosił w I i II kwartale 1.03, a l,03² w całym pierwszym półroczu. W III kwartale przy miesięcznej kapitalizacji i nominalnej] stopie 10% czynnik oprocentowujący przyjął wartość

W IV kwartale odsetki nadal kapitalizowano co miesiąc, ale przez 2 początkowe miesiące obowiązywała stopa nominalna 9%. obniżona w ostatnim miesiącu do 8%. W związku z tym czynnik oprocentowujący za IV kwartał wynosi

| Znojąc wartość czynnika oprocentowującego w każdym kwartale, obliczamy iść rocznego czynnika oprocentowującego tego rachunku jako iloczyn uków z poszczególnych kwartałów

,/    0,10 \³/    0,09 \²/    0.08 \

_p.^,.°3_I(^,+_)(^, ₊ _)(, ₊ _)=,m38°.

cc tego efektywna stopa oprocentowania rachunku wynosi r_rf = p — I = 0,111380 = 11,1380%.

b)    W poprzednim punkcie obliczyliśmy, ile wynosił kwartalny czynnik towujący w kolejnych kw artałach. Do obliczenia przeciętnej stopy kwartal-pstamy więc z wzoru (3.50) i otrzymujemy

= 0.111380 -1 = 2,6752%.

c)    Wartość kapitału 10 tys. zł na koniec roku możemy obliczyć kilkoma obami. a mianowicie przy użyciu:

-    zmiennych w czasie stóp podokresowych

= 10000-1.111380 = II 113.80 zł,

-    stopy efektywnej

10000(1+0,111380) = 10000 -1,111380 = II 113.80 zł,

-    przeciętnej stopy kwartalnej

F= 10000(1+0.026752)⁴ = 10000• 1.111380 = III 113.80 zł.

■

W celu wyprowadzenia wzorów ma końcową wartość kapitału i stopę ciętną w warunkach oprocentowania ciągłego o stopie zmiennej w czasie czarny przez r[ⁿ. rf*.....if* nominalne stopy oprocentowania ciągłego w kolejce n latach j = 1.2.....n. Roczny czynnik oprocentowania w roku j ma wartość

zatem początkowy kapitał P po n latach przyjmie wartość

F = Pe^^,V'^3ł... e'*"‘ =

(3.54)

101

F = />exp(£ #P).

J -1

100