0547

549

§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

że daje się ona sprowadzić do przypadku II całki Froulianiego, jeżeli sin^2vx zastąpimy przez

sin^łvx— -i- • ^{2v (2v}~^l)

r>    1-2- ... •»

Ostatecznie ze wzoru (4a) otrzymujemy

f si^y-si^y .    (2v— 1)!! ■ g

J    x    '    (2v)V. p ‘

uw    _

/COS X

—-— dx nie jest zbieżna dla żadnego n naturalnego, ale dla n = 2i-+1 zbieżna jest całka

/ i ze wzoru Froulianiego (4a) otrzymujemy od razu o

j ^cos* px~w* *    __ j_n q_

i    x    p

Dla n — 2v korzystamy z rozkładu z 461, 3) (c) tak samo jak poprzednio dla sinusów. Otrzymujemy

f cos^ły-cos²y _dx = /_i _ (2r-l)!! \ j q_

j    *    \    (2*')!! /    P '

0

23) Wykazać prawdziwość następujących wzorów ('):

(a) | cos yx dx j ^c°^s 1 dt —

(b) J sin yjr dx J dt —

(c) J cos yx dx J J1B-L dt ‘

w 2 7 x_ 4

0

_L

2 y

1

O Całki

JC

2 y

X

4

ln

dla	lyl > i.
dla	\y\ = i.
dla	W < i.
dla	lyl > i ,
dła	lyl = 1.
dla	lyi < l.
l+y	dla dla
1-y
dt i	00 -I X

■ dt

to są właśnie funkcje si x i ci x („sinus całkowy" i „kosinus całkowy”), wspomniane w ustępie 289. O Dla y = ± 1 całka jest rozbieżna.