0539

S41

§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

497. Mieszane przykłady i ćwiczenia

1) Udowodnić zbieżność całki

I = f    _.

J x² ■ (sin x)²¹³ n

Punktów osobliwych mamy nieskończenie wiele: x = mc (n = 1,2,...). W każdym przedziale skończonym jest ich skończenie wiele i odka jest zbieżna. Chodzi wiec tylko o zbieżność całki w przedziale nieskończonym. Jest

<»+!)«

•-E J -I/

dx_

(*+/nr)^J(sin x)^2li

I

dx

(sin x)²'³

Me

< + 00 ,

2) Jeżeli w zbieżnej [478, S) (c)] calce

f Uogrl^-lilLL* (A > 0)

0

dokonamy podstawienia / — e*, x » ln /, otrzymamy całkę

+ 00

J IjcI* sin e*dx .

Ostatnia całka jest wiec zbieżna, mimo iż funkcja podcałkowa przy nieograniczonym wzroście |xi oscyluj miedzy — w a + co.

3) Widzieliśmy przed chwilą, że na to by całka

(8)    f f(x)dx była zbieżna, nie trzeba nawet, żeby

(9)    /(x)-0( 1)    (dla    x—*oo).

Udowodnić, że jednak

(a) jeżeli istnieje granica

lim/(x),

to w przypadku zbieżności całki (8), granica ta jest na pewno równa 0, co więcej

(b) jeżeli istnieje granica

lim x/(x),

x-*oo

/W-O (±),

to granica ta równa się 0, tzn.

(10)

(c) jeżeli funkcja całkowalna w przedziale <a, oo) maleje monofonicznie, to ten warunek (10) jest na pewno spełniony.

Dowód [w przypadku (b) i (c)] jest podobny do dowodu analogicznych twierdzeń dotyczących szeregów dodatnich [375, 3)].

Zauważmy jeszcze (także podobnie jak w przypadku szeregów), że nawet, gdy funkcja f(x) monofonicznie maleje, warunek (10) nie gwarantuje zbieżności całki (8). Jako przykład może służyć rozbieżna \ałka

J

dx

zlnx

(a > 1).