0531

533

§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

? sin²*    1

4) Rozpatrzmy całkę J —-j—dx; tutaj <f (x) = y> (jr) = sin².r. Mamy

(JŚSŹL&c = lim h    lim i yjaaiŁ.

•' X²    d-*o 4_J (rA)²    ,^o A Zj k²

Przy obliczaniu tej ostatniej sumy zauważymy najpierw, że

, CO    . ,    00

J V¹ sin²v/t | _ \ ¹ sin 2vh _ Tt—2A _ tt |Z_i r² J»    z^_i v    2    2

V-1    »-l

1461, 6) (b)]. Różniczkowanie wyraz za wyrazem przy h^= 0 jest dopuszczalne z uwagi na twierdzenie 7 z ustępu 435, gdyż szereg utworzony z pochodnych jest jednostajnie zbieżny [kryterium Dirichleta, 430].

Całkując, otrzymamy wyrażenie, które jest szukaną sumą —t%— Stąd mamy nareszcie

f sin²* J x²

dx = lim

»-0

TC —A 2

7T 2 '

o

W innych przypadkach to, że spełnione jest założenie (3), musimy sprawdzić bezpośrednio.

00

5) Niech będzie dana na przykład całka / -dx. Ograniczymy się (mamy oczywiście do tego

o ^x

prawo) do wartości A = tcjk i A = nrn, gdzie k i m są liczbami naturalnymi.

Przedstawmy potrzebną sumę w postaci

oo			k(m+2)~ 1
E-	sin nh nh	II M	+ E
n»*«		*»km

Łatwo sprawdzić, że składniki po prawej stronie w obrębie każdej z tych skończonych sum będą miały ten sam znak, który zmieni się przy przejściu do następnej sumy. W ogólności szereg po prawej stronie jest szeregiem naprzemiennym. Dlatego też jego suma będzie co do wartości bezwzględnej mniejsza od wartości bezwzględnej pierwszego składnika. Poza tym, ponieważ kmh = rmc = A, będzie

sin nh nh

[sin nh\ nh

A < ■

|sin nh\-h =

=    sin ih-h ,

Ta ostatnia suma jest dla dostatecznie małego A mniejsza od dowolnej liczby C>2, jako suma całkowa

n

całki J sin xdx = 2; a. zatem o

£_ A '

sin nh nh

a z tego wynika, że założenie (3) jest spełnione.

Samo obliczenie danej całki usankcjonowane przez powyższe rozumowanie, odbywa się bardzo prosto [patrz 461, 6) (b)]:

7t—A _ jr_ 2 2 ’

f -fc _dx = Hm YJSZSL- lim

O    H->1

co już otrzymaliśmy wyżej na innej drodze [492, 3°].