0537

§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

539

2) Trochę ogólniejszy jest przykład

J x^Xm—x²'

dx,

gdzie m, m', n są liczbami naturalnymi i m, m'<n.

Warunki są spełnione z wyjątkiem tego, że mianownik ma pierwiastki rzeczywiste ±1. Nie jest to tutąj istotne, ponieważ te same pierwiastki ma także licznik, a więc ułamek można skrócić przez x²—1. Tych pierwiastków nie będziemy brali później pod uwagę.

Pozostałymi pierwiastkami mianownika są liczby

x, = cos +< sin — — x* (X = 1, 2.....n—l.n+l.....2n—1).

*    n    «    ¹

Tylko pierwsze n— 1 spośród nich mają dodatnie części urojone.. Ze wzoru (7)

A, =—4-= — CxV^,+l-x?"⁺¹),

J«-i 2n

-2«r

więc

t-l    A-l

Otrzymane wyrażenie przekształcamy kolejno w taki sposób (*):

. T yRd^-fD.yl^łl    i

y^<+) a =* — I __i__ii____>_*i i _M

^    * 2n [    xj"'⁺¹-i    xJ-^+,-l J

_j_r ._Tr _ i+xj*

2« | l-x^Il^m*ⁱ l-xj*

_r2m4-l

_1_

_r3*+i

I I    n/2    _Jcu«i'+i)/j^__Jt-(2«!'+n/2

2/1 I _<2«+ll/2_ _r-(2«łl>/2    ,(2»'tll/2_ „-<2«'+l)/2

I. i    1    I    1

]

1

2ni

Ostatecznie

+<!>

f    dx = i fctg    „_ctg(m, rn'<ri).

J l-x²*    n L In    2n J

— CO

Zauważmy, że z tego wzoru łatwo można by otrzymać poprzedni wynik, gdybyśmy zastąpili n przez 2/i i podstawili m' = m+/i (dla m<n).

3) Rozpatrzmy wreszcie całkę

gdzie m</i i —7t<0<jr.

(‘) Uwzględniając, że X¹

-1.

r^+Łt^cosfl+l

rfx,