0535

537

§ 4. Specjalne metody obliczania odek niewłaściwych

Z drugiej strony,

1    _    1    _ x-a_x . p_x

x-x_x ~    x-a_x-p_xi    ~    (_x__a;l)2₊^2    ⁺*    (_x__a;l)2_+/j2

oraz

/    " |T^|0    |_ -

(h-x_ky+pl

{h+x_kY+p\

+ i arctg

h- a_A Pa

+arctg

h+<*A 1

Pa J‘

Gdy /i -+ +oo, pierwszy składnik w ostatnim wyrażeniu dąży do 0, a drugi do +ni lub —ni w zależności od tego, czy p_x > 0 czy też p_x < 0.

Otrzymujemy więc wynik

+00

/

-00

P(x)

fi(x)

gdzie przed i4_A stoi znak plus, jeżeli odpowiednio p_x> 0, i znak minus w przeciwnym przypadku. Wzór ten można nieco zmienić na podstawie następujących rozważań. Pomnóżmy obie strony tożsamości (5) przez x. Gdy x -* oo, lewa strona będzie dążyła do 0, gdyż stopień wielomianu x P(x) jest mimo wszystko niższy niż stopień Q (x). Po prawej stronie znikną w granicy wszystkie wyrazy o mianownikach nieliniowych, a zatem granicą sumy pozostałych wyrazów będzie także 0. Stąd J,A_X = 0, a więc 2^<+) A_x — — 2^<-) A_x,

A

jeżeli za pomocą znaków (+) i (-) oznaczymy sumy tych A_x, które odpowiadają przypadkom p_x > 0 i P_x < 0 odpowiednio. Teraz otrzymany wzór możemy napisać w postaci +00

(6)

/•

Jeżeli chodzi o obliczenie współczynników A_x, to ograniczymy się do wskazówki dotyczącej przypadku pojedynczego pierwiastka x_x, dla którego Q (xj = 0, lecz Q'(x_x) / 0.

W rozwinięciu (5) będzie mu odpowiadał tylko jeden wyraz———. Jeżeli pomnożymy

X x_x

obie strony równości (5) przez x—x_x, to otrzymamy następującą jej postać:

A_x+(x-xJR(x),

P(x)

Q(x)-Q(x_x)

x—x_x

gdzie R (x) oznacza grupę wyrazów, które pozostają skończone, gdy x zbliża się do x_x.