0549

§4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

551

oe /	sin t	A-	TT 2jx '	gdy
fi*	t	)	7T 2p '	gdy	* < /?.
			^1 In 2a	«+•/? 1	1 ^1 ln	gdy	a r {},
09 /	sin f	*}-			2/ł ' w^2 ’
f*	t		— In 2. cc			gdy	« = /».
OD			i	+ 4-

<^b>J

O

Dowód, (a) Całkując przez części sprowadzamy daną całkę do całek postaci (23) (a):

/*{/>*■ j'*H

O    >x    fi*

x- ę^cos/	dt- f	cos t	dt	Jt-OO /• /• + 1 cos arx dx I	^cos' dt+	f	cos px dx	f
J t	j	t		x-0 J *	t	J		J
a*	fi*			0 fi*		0		a*
co	CC			oo 09
-Ł- f cos —■	x dx I	cos t	dt+ — f cos ~ x dx f		COSI dt	7C	lub	TT
fi i fi	J X	t		a J oc J 0 X	t	2*		2/3

zależnie od tego, czy a>/3, czy też a</3.

Podamy jeszcze pewne wyjaśnienie o zerowaniu się wyrażenia otrzymanego po podstawieniu granic. Ze znanego już nam oszacowania

cos t

dt

< r+ [ln Aj

widać, że wyrażenie występujące przed symbolem dąży do 0 wraz z a. Z drugiej strony,

f -^idr= -MŁJL|"+ f-^-dt, |J ^iLdt - ²

skąd wynika, że wspomniane wyrażenie dąży do 0 także dla x -*■ oo.

Dowody pozostałych wzorów przebiegąją analogicznie. Trzeba się przy tym powołać na wzory wyprowadzone w 23) (b), (c), (d) i (e).