0123

125

§ 3. Obliczanie i przekształcanie całek oznaczonych

W tym celu zauważmy, że z (jednostajnej) ciągłości funkcji <p'(t) wynika, iż do każdej liczby £ > 0 można znaleźć takie S > 0, aby dla k < S spełniona była nierówność

l7^,'(Ti)-?>'(t*)l < «

[patrz wniosek w ustępie 87]. Wtedy mamy gdzie sumę Jdt, zastąpiono przez fi—a, a L ogranicza od góry funkcję |/(x)|.

b

Teraz jest już jasne, że jeśli k -* 0, to a dąży do granicy J/(x) dx, a to znaczy, że całka

t    a

jf(<P    dt istnieje i że prawdziwy jest wzór (9). Dowód został więc zakończony.

Uwaga. Podkreślamy szczególnie, że na podstawie udowodnionego twierdzenia proste i przydające się często wzory, wyprowadzone w ćwiczeniach 8), 9) i 10) ustępu 314, pozostają w mocy w przypadku dowolnej funkcji całkowalnej f(x).

§ 4. Niektóre zastosowania całek oznaczonych

317. Wzór Wallisa. Z wzoru (8) ustępu 312 łatwo wyprowadza się znany wzór Wallisa. Przy założeniu, że 0<jr< -i-rc, mamy nierówności

sin^ł*^+I x < sin²* x < sin²*^-1 x .

Scałkujemy te nierówności stronami w przedziale od 0 do-i-rc:

nil    n/i    nu

o

sin^2,+1jr dx < f sin^2,xdx< ) sin²"~‘.v dx .

o

o

Stąd i ze wzoru (8) znajdujemy

(2n)!!    (2w—1)!! . x (2n-2)!!

(2n+l)!!    (2 /»)!!    *2    (2n-l)!!

lub

[ (2n)!! V 1

[ (2/1—1)!! J 2n

Ponieważ różnica skrajnych wyrazów tych nierówności

czyli

1 f (2n)!! l^ł

2«(2if+l) l (2«—1)!! J

f (2w)!! 1

l (2«—1)!! J

dąży, jak widać, do 0, gdy «-*■ oo, więc -—n jest wspólną granicą obu tych wyrażeń. Zatem

■-•00