0091

93

§ 2. Własności całek oznaczonych

W tym celu zdefiniujemy przede wszystkim pojęcie przedziału skierowanego, czyli zorientowanego. Przez przedział zorientowany (a, by (gdzie może być a < b, albo a > b) będziemy rozumieli zbiór liczb x spełniających jedną z nierówności i uporządkowanych od a do b, tzn. w kierunku wzrastania, jeśli a < b, albo w kierunku malenia, jeśli a > b. W ten sposób rozróżniamy przedziały (a, by i <Jb, a> które składają się z tych samych punktów, ale różnią się kierunkami.

Definicja całki oznaczonej podana w ustępie 295 stosuje się do przedziału zorientowanego (a, by, ale tylko w tym przypadku, kiedy a < b.

Przechodzimy do zdefiniowania całki oznaczonej w przedziale zorientowanym (a, by przy założeniu, te a > b. W tym przypadku możemy powtórzyć proces rozdrabniania odcinka za pomocą dorzucania punktów dzielących, uporządkowanych w kierunku od a do b:

a = x₀ > x_t > x₂ > ... > X( > x₍+! > ... > x„ = b.

W każdym podprzedziale <x₍, x_j+1) wybieramy punkt tak żeby było x, >    > x,-t₁

i tworzymy sumę całkową

gdzie tym razem wszystkie d.x, = x_i+1 — Xj są ujemne. Wreszcie granica tej sumy, gdy X = max \dx_t\ -* 0, daje nam szukaną całkę

h

dx = lim o.

a

Jeśli dla przedziałów (a, by i (b, a) (gdzie a > b lub b > a) będziemy brali t e same punkty podziału i te same punkty £, to odpowiadające im sumy całkowe będą różniły się tylko znakiem. Przechodząc do granicy otrzymamy następujące twierdzenie:

1° Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w przedziale (b, a>, to jest ona również całkowalna w przedziale (a, by, i ponadto

b

a

a

f f (x) dx = - J f (x) dx .

b

b

Zresztą równość tę można by przyjąć wprost za definicję całki J dla a > b przy zało

żeniu, że całka J istnieje.

»

Zauważmy jeszcze, że z definicji przyjmujemy, iż

a

j f(x) dx = 0 .