0097

99

§ 2. Własności całek oznaczonych

305. Całka oznaczona jako funkcja górnej granicy. Jeśli funkcja /(x) jest całkowalna w przedziale {a, b')(a>b lub a<b), to [299, III] jest całkowalna również w przedziale <a, x>, gdzie x jest dowolną liczbą z przedziału <a, by. Zastępując w całce oznaczonej granicę b przez zmienną x, otrzymujemy wyrażenie

X

(1)

a

które oczywiście jest funkcją zmiennej x. Funkcja ta ma następujące własności:

11° Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna iv <a, by, to 0 (x) jest funkcją ciągłą zmiennej x w tym przedziale.

Dowód. Dodając do x dowolny przyrost Ax = h (z tym jedynie zastrzeżeniem, żeby jc+A nie wyszło poza końce rozpatrywanego przedziału), otrzymujemy nową wartość funkcji (1)

.t+li    * x+h

<P(x + *)= / f(t)dt = f + f

a    a x

[patrz 2°], a więc

0(x+h)-0(x) = / f(t)dt.

Zastosujemy do tej całki twierdzenie o wartości średniej 9°

(2)    0(x + h)-0(x) = ph ;

/< jest tu liczbą zawartą między kresami dolnym i górnym m i M’ funkcji /(x) w przedziale <jc, x+hy, a wobec tego również między (stałymi) jej kresami raiMw całym przedziale <<7, by (²).

Jeśli teraz założymy, że b zmierza do 0, to oczywiście mamy

0 (x + h) - 0 (x) -* 0 lub 0(x + h) -» 0{x) , co dowodzi ciągłości funkcji 0 (x).

12° Jeśli funkcja f (/) jest ciągła w punkcie t = x, to w punkcie tym funkcja 0 (x) ma pochodną równą f (x), czyli

0’(x) =/(x).

Dowód. Rzeczywiście, z (2) wiemy, że

0(x + h)-0(x)

gdzie m' < p < M'

(’) Zmienną całkowania oznaczamy tu literą t w tym celu, żeby nie mylić jej z górną granicą x; jest zrozumiałe, że zmiana oznaczenia zmiennej całkowania nie wpływa na wielkość całki.

(²) Przypominamy, że funkcja całkowalna jest ograniczona [295].

7*