0093

95

§ 2. Własności całek oznaczonych

Dzielimy dowolnie przedział <a, by na mniejsze przedziały i zmutujemy sumy całkowe dla wszystkich trzech całek. Przy tym punkty w każdym z podprzedziałów wybieramy zupełnie dowolnie, ale te same dla każdej z sum; wtedy mamy

Y U(ł')±9 (£)]    = £/(*«) Axt± Y? (« dx_t.

Niech teraz A -* 0; ponieważ istnieją granice obu sum po prawej stronie równości, więc istnieje również granica sumy po lewej stronie, co dowodzi całkowalności funkcji f(x)±g (jc). Przechodząc w ostatniej równości do granicy otrzymujemy szukaną zależność.

Uwaga. Zwracamy uwagę na to, że przy dowodzie dwóch ostatnich twierdzeń nie trzeba się było opierać na własnościach I i II z ustępu 299. Całkowalność funkcji kf(x) i f(x)±g (x) dowodzi się bezpośrednio przez przejście do granicy.

304. Własności wyrażające się nierównościami. Dotychczas rozpatrywaliśmy takie własności całek, które wyrażają się równościami; przejdziemy teraz do omówienia własności, wyrażających się nierównościami.

5° Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w przedziale <o, by i nieujemna w tym przedziale

i a < b, to

j f(x) dx^ 0 .

a

Dowód jest oczywisty.

Trudniej jest udowodnić ostrzejsze twierdzenie:

Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w przedziale <a, i), jest wszędzie dodatnia i a < b, to

J f(^x) dx > 0 .

a

Dowód przeprowadzimy przez sprowadzenie do sprzeczności. Przypuśćmy, że

Jf(x)dx = 0.

a

Wtedy przy A -» 0 również górna suma Darboux S zmierza do 0 [297, (7)]. Dla dowolnego Ei > 0 można znaleźć taką sumę S, która jest mniejsza od e^b—a). Przy tym przynajmniej jeden z kresów górnych M_t okaże się mniejszy od 8i, innymi słowy — w przedziale <a, by można znaleźć taki podprzedział, w którym wszystkie wartości funkcji f(x) są mniejsze od .

Ponieważ mamy również

ff(x)dx = 0C),

Ol

(‘) Rzeczywiście, w myśl 2° jest

‘i k

°< / </ = 0.

więc

»    ** *i *    *i    »

/ = / + / + /, a ponieważ j > 0, J > 0,