img049 (33)

54

położonego w dowolnym przedziale osi Ox zawierającym jeden z punktów x*\ x'^II] lub x ^v i niezawierającym innych punktów stałych odwzorowania F(-), ciąg (x^)_jeri iteracji prostych jest zbieżny do odpowiedniego punktu x^l, x*^ln lub x*^v.

Punkty x*ⁿ i .r*^iv są natomiast punktami odpychającymi dla iteracji. Żaden z punktów stałych x*ⁿ lub x’^IV nie jest osiągany jako granica ciągu iteracji prostych, dla jakiegokolwiek punktu początkowego .r₍₀) różnego od punktów x*ⁿ i x*^IV.

Przykład ten ilustruje podstawowe ograniczenie związane z wykorzystywaniem metod iteracyjnych. Nie dają one na ogół możliwości wyznaczenia wszystkich rozwiązań bez konieczności dokonania odpowiedniego przekształcenia samego równania, które jest rozwiązywane.

W rozważanym przykładzie można zastąpić odwzorowanie F(-) odwzorowaniem

G(x)=F~^l(x) ,    (3.56)

dla x g R . Odwzorowania F(-) i G(-) mają takie same zbiory punktów stałych.

Z analizy geometrycznej przebiegu iteracji prostych wynika, że te punkty stałe odwzorowania F(-), które były punktami przyciągającymi dla iteracji (punktami asymptotycznie stabilnymi systemu iterowanego x_(/+i) = F(x_w),y g N, x₍₀) g R) są teraz punktami odpychającymi dla iteracji. I na odwrót, punkty, które były punktami odpychającymi, są teraz punktami przyciągającymi, a więc identyfikowanymi w granicy jako rozwiązania równania x = G(x) (równania x = F(x) i x = G(x) mają identyczne zbiory rozwiązań).    ■

W podrozdziale 3.2.2 przedstawiona zostanie taka formuła dla modyfikacji wyjściowego równania (3.48), że zastosowanie algorytmu iteracji prostej zawsze prowadzić będzie do wyznaczenia wszystkich punktów będących rozwiązaniami równania wyjściowego, o ile tylko wartości początkowe dla iteracji zadane zostaną w dostatecznie bliskim otoczeniu punktów będących punktami rozwiązań. Punkty rozwiązań równania wyjściowego będą tam punktami przyciągającymi dla iteracji zastosowanych dla równania zmodyfikowanego.

Uogólnienie

Przedstawione zostanie obecnie uogólnienie algorytmu iteracji prostej obejmujące układy równań postaci

x, = F, (xj, x2, • •	>*«)'
*2 =^F2i^x\’^X2’-'	•>*«)
x„=F„{x i,x2,--	. * 1

(3.57)

gdzie Fj(-): R" a (x₁,x₂,---,x„)-> R, i = 1, 2są danymi odwzorowaniami. Układ równań (3.57) jest układem n równań algebraicznych z n niewiadomymi x₁,x₂,---,x„. W zapisie wektorowym przyjmuje on postać

(3.58)

x = F{x),

gdzie x g R" i F(-): R" 3 x —» R" .