matma egz002

b) Moment bezwładności jednorodnej (o gęstości p_m = 2) bryły V względem osi OX jest granicą ciągu sum

n

całkowych    (objaśnić: dla każdego podziału normalnego V na elementy V_k i wyboru

k=1

punktów pośrednich (x_k,y_k,z_k)eV_k) i wyraża się wzorem 2|JJ(y² + z²) cbcdydz .

V

'-V-'

c) Wiadomo, że V(x,y,z)eV, f(x,y,z)> 2. Wówczas JIJ/O.**) cbcdydz > 2\V\ , ponieważ

v

(uzasadnić) ( Jjj/(x,j>,z) cbcdydz = Jim £/(**, j>_ł,ź_ł)|F_ł| ^²Źl^F*l i tw. S_n>a,\/n => limS_n >a)

>2

n

3) Całki krzywoliniowe i powierzchniowe, twierdzenia teorii pola

a) Moment bezwładności jednorodnego (o gęstości 2) półokręgu K o równaniu y = -V4-x² względem

u    1 t f

12 [4cos²/-2ć# = 16*2*—•— J i-1 i—i    9

²|X    ^{Z!! z}

jego osi symetrii wyraża się całką krzywoliniową 2 jx²dl i wynosi Stt

b) Moment statyczny półsfery S o promieniu a (wykonać rysunek) względem jej środka (gęstość = 4) wyraża się całką powierzchniową postaci 4 jj\/x² + y² +z² dS , którą obliczamy w następujący sposób:

S 3 r (u,v) = [a sin u cos v, a sin u sin v, a cos w]; (w,v)e D

<=>

(0 < U < 7T12	_ _
\ ;ds =	r'xr'
[0 < v < 2 n	U V

dudv = a² sin u du dv,

4 jjyjx² +y² + z² dS = 4 jJa • n² sin ududv = 8na

P(x,y)    Q(x,y)

c) Cyrkulacja pola w>(x,y) =

e^xy(l + xy),x²e^xy

wzdłuż dowolnej krzywej regularnej zamkniętej wynosi

0 (uzasadnić: bo pole jest potencjalne, co należy sprawdzić: Q’_x (x,_y) = P' (x,y) ).

d) Pole trójkąta określone nierównością 0 < y < 2 - >/x^ można wyznaczyć za pomocą całki podwójnej

	x y
9 dl)	dx dy

obliczanej następująco:

••(jakiej)

2    2-y

^dy j dx lub całki krzywoliniowej zorientowanej 0,5 cj

0    -2+v

^ ¹ ' ’ " V

•••(jakiej)