0095

97

§ 2. Własności całek oznaczonych

Udowodnionym stwierdzeniom można nadać wygodniejszą postać równości, uwalniając się ponadto do ograniczenia a < b.

9° Twierdzenie o wartości średniej. Niech funkcja f(x) będzie całkowalna w przedziale <a, b} (a < b lub a > b) i niech w całym przedziale zachodzi nierówność in </ (.r) ^ M\ wtedy

b

Jf(x)dx - fi(b-a),

a

gdzie m ^ p < M.

Dowód. Jeśli a < b, to w myśl własności 8° mamy

b

m (b—a) < j f(x)dx^M(b—a),

a

a stąd

b

m < —T^-~— f f (x) dx ^ M. b — a J <1

Przyjmując

b

-±~) f(x)dx = p,

a

otrzymujemy żądaną równość.

a

W przypadku kiedy a > b, przeprowadzamy takie samo rozumowanie dla całki f,

b

a następnie przez przestawienie granic całkowania dostajemy znów poprzedni wzór.

Udowodniona wyżej równość przyjmuje szczególnie prostą postać w przypadku, gdy funkcja f(x) jest ciągła. Rzeczywiście, jeśli przyjmiemy, że m i Moznaczają najmniejszą i największą wartość funkcji, które istnieją w myśl twierdzenia Weierstrassa [85], to funkcja ta przyjmuje w myśl twierdzenia Bolzano--Cauchy'ego [82] również wartość pośrednią p. w pewnym punkcie c przedziału {a, by. Wobec tego

h

J f(x)dx = (b-a)f(ć),

a

gdzie c leży w przedziale <a, by.

Znaczenie geometryczne ostatniego wzoru jest proste. Niech będzie f(x) >0. Rozpatrzymy figurę krzywoliniową ABCD (rys. 5) leżącą poniżej wykresu funkcji f(x). Pole tej figury krzywoliniowej (wyrażające się całką oznaczoną) jest równe polu prostokąta o tej samej podstawie i o wysokości LM, równej rzędnej w pewnym punkcie c.

7 Rachunek różniczkowy