CCF20090319056

\

65

Całka, oznaczona

Inne własności całki oznaczonej są takie same jak całki nieoznaczonej -wzory (3.7) - (3.12).

Przykłady 1. Obliczyć całkę oznaczoną

i= r_^_.

J-₃ z² + 2z + 1

Rozwiązanie. Liczymy całkę nieoznaczoną, a następnie uwzględniamy granice całkowania. Mianownik przedstawiamy w postaci kwadratu sumy (x + l)². Po zastosowaniu podstawienia x + 1 = y mamy dx = dy oraz

f dx    f

J x² + 2x + 1 J

y ² dy =---b C = -

x + 1

+ C.

Tak więc

dx

x² + 2x + 1

2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego prostą y = 2x + 3 oraz parabolą y = x².

Rys. 26

Rozwiązanie. Szukamy punktów przecięcia prostej z parabolą, aby ustalić granice całkowania. Po rozwiązaniu układu równań

y = x²,

2x - y + 3 = 0,

otrzymujemy xi = —1, xi = 3. Szukane pole S jest równe polu pod odcinkiem AB minus pole pod fragmentem paraboli (zob. rys. 26), czyli

iz³r\ = ioi.

S = J (2x + 3)dx- J x² dx = f³

= J {2x + 3 — z²) dx - [z² + 3z