22888

3.

Własności całki nieoznaczonej

>    (J7(*)<fc)^,= n*)

>    \f'{x)dx=f{x)+c

>    jaf( x)dx = aj f(x)dx

j f(x)%(x)Lx = Jf(x)dx^J‘5(x)dx )

4. Całkowanie przez podstawianie (zamiana zmiennych)

Jeżeli Jc?(r) <rt = G(f)+c to J<?( 0)[ x)) <w'( x) dx = G( 0){ x)) +c

dowód: niech: f = ót>(x) wtedy: Jglx) =Jglflł|x)|fl»'|xldx = fg(f|di =G(f) + c= C|©|x)| + c

5. Całkowanie przez części

Niech u = f (x) i v = <7( x) będą funkcjami x mającymi ciągłe pochodne u'= f'{x) i v' = g'[x). Korzystając z reguł różniczkowania: (u>v) '^u^ + uw'. Stąd zachodzi wzór |uxv' = u>v-

6. Całkowanie funkcji wymiernych

Każdą fiuikcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i pewnej ilości ułamków prostych.

a) Ułamki proste i ich całkowanie

Mx + N

Mx+ N

A ^A

Wyróżniamy 4 typy ułamków prostych: -, T, —5-, / ->

^{y    V y} x-a (x-a) x² + px + q’ [x² + px + q]

Całkowanie ułamków prostych: r A

> [-dx-Aln|x-a| + c

³ x-a

• + c

, ~^A dx = ---x-

2