097(1)

Własności całki nieoznaczonej:

^L ~dx [J /(*)<**] = /(*) ^lab d J f(^x)dx = f(x)dx

II.    jF'(x)dx = F(x)+C lub /dF(x) = F(x)+C

III.    | af(x)dx = ajf(x)dx; czynnik stały wolno wyłączyć przed znak

całki

IV. j [f₁(x)+f₂(x)-f₃(x)]dx = J/₁(x)dx+Jf₂(x)dx—ff₃(x)dx; całka sumy jest równa sumie całek poszczególnych składników.

Podstawowe wzory rachunku całkowego: r    u^a+1

1. u^adu — —--r + C; a ^ — 1 ^    d~\~ 1

2.    j u~'du = j    I ~^dx = ln |m|+C

/

3.    f    + C; f e^udu = e^u+C

4.    J sinudk = —cosm+C

5.    J cos udu — sin u-f-C

6.    j sec² udu = tg u-\- C

7.    j cosec²udu — —ctg w+C

8- J T2T^r = -^arctg—+^C

l

«²+a^:

_n r du i , 9.    —3—2 = -«-In

J u²—a²    2 a

du

a

a

u—a

u-\-a

+ c

w.f

■f

11

,_ = arc sin—A-C

}/a²-tP    a

du

Y^+c

= ln\u-\-\łu²-\-a |-fC

We wzorach tych a jest dowolną stałą, a u — zmienną niezależną lub dowolną (różniczkowalną) funkcją zmiennej niezależnej. Na przykład:

Całka Ii — / |/x dx = J x^z 7.vjest przypadkiem szczególnym wzoru 1,

1 2—2 — dla u = x, a = y. Zgodnie z tym wzorem I_l=^x ¹ -f C = “ j x² +C.

z tym wzorem I₂ —

+ C.

Całka I₂ — f 3^xdx jest przypadkiem wzoru 3, dla u — x, a = 3. Zgodnie 3*

In 3

r dt

Całka h — J ~tt 3* jest przypadkiem wzoru 8, dla u=t, a — ] 3 . Sto-

³+3

1    t , „

sując ten wzór mamy /₃ = • arc tg —=■ -f C.

/3    y 3

Całka L

r ₌ f_

j 1/w¹

y'<p¹—5

Zatęm /₄ = ln'ip+^9?¹—5

Całka 7_S

jest przypadkiem wzoru 11, dla u = cp, a=—5.

\+c.

(x¹+lY , fd(x;+l)

x*+7

jest przypad

kiem wzoru 2, dla u = x¹-\-l, bowiem (.v¹+7)' = 2x. Według tego wzoru /₅ = ln^-f 7)-f-C. Znak wartości bezwzględnej został tu pominięty, ponieważ zawsze x¹+7 > 0.

Ogólnie, znak wartości bezwzględnej we wzorach 2, 9,11 trzeba pisać tylko wtedy, gdy wyrażenie logarytmowane może przyjmować wartości ujemne.

Całka 2$ = J 5sin51 dt — | sin 5/7(5/) jest przypadkiem wzoru 4, dla u = 5/. Dlatego I₆ = — cos5/-f C.

Całka /₇ = { e^sln^cos <pdrp~ I e^s,r“^!’d sin <p, ponieważ cos tpdrp = 7sin ę>. Ze wzoru 3, dla u = sin 9?, otrzymamy /₇ = e^sln‘^fJrC.

/_e^xdx r dc^x

—j-—— =    . ,■——, ponieważ e^xdx = de^x. Ze wzoru 9,

e —1 J (e )—1

197

1

dla u = e^x, a = 1, otrzymamy /₈ = yln ³    , - -f C.

2

O prawdziwości wzorów rachunku całkowego, jak i każdego wyniku całkowania, można się przekonać przez różniczkowanie, albowiem, jak już zaznaczaliśmy, całkowanie jest działaniem odwrotnym w stosunku do róż niczkowania.

3

   \e^x—\\