6 (40)

113

Własności całki

ifdcc = $f(x)<x,’(x)dx

ITTil

wolnej ograniczonej funkcji /. Nierówność dla całek dolnych wynika z (30) w podobny

Uwaga. Dwa poprzednie twierdzenia ilustrują ogólność i „giętkość” koncepcji w sensie Stieltjesa. Jeżeli a jest funkcją schodkową (to jest funkcją o postaci (22)), to oprowadza się do sumy skończonej lub sumy szeregu nieskończonego. Jeżeli ot ma walną pochodną, to całka Stieltjesa redukuje się do zwykłej całki Riemanna. Dzięki Ha wielu przypadkach możemy jednocześnie badać własności całek i szeregów.

najlepszej ilustracji rozważmy następujący przykład fizyczny. Moment bezwładności drutu o jednostkowej długości obliczany względem osi przechodzącej przez koniec ^^■i do niego prostopadłej wynosi

fx² dm, o

^Ba(x) jest masą odcinka <0, x>. Jeżeli założymy, że gęstość masy q jest funkcją ciągłą, tj. = q(x), to (33) przyjmuje postać

$X²Q(x)dx.

' o"'

I z drugiej strony, jeżeli drut składa się z mas    skoncentrowanych w punktach X;, to (33)

kfcształca się w

i

I Wobec tego (33) zawiera (34) i (35) jako przypadki szczególne. Zawiera jednak w istocie kcznie więcej sytuacji — np. przypadki kiedy m jest funkcją ciągłą, lecz nie wszędzie ^■iczkowalną.

■ <19. Twierdzenie (zamiana zmiennych). Niech <p będzie funkcją ściśle rosnącą odwzo-Hntpącą przedział (i., B) na przedział <a, b). Niech u będzie też funkcją rosnącą na (a, V) kś/6 0t(u) na <0, h). Określmy p i g na <1, B> wzorem

P(y) « a(ę>(y)), giy) = f(<p(y))-

miyge&Mk

$gdp = ^f dcc.

A    a

i Dowód. Każdemu podziałowi P — (x₀,..., x„} odcinka (.a, V) odpowiada podział Q = U j o,..., y_n) odcinka <A, B> taki, że x, = ^(y,). Dowolny podział odcinka <1, B> możemy hczymać na tej drodze. Ponieważ wartości przyjmowane przez/ na    _1; x<> są dokładnie

■kie same jak wartości przyjmowane przez g na <y_f_ _lt y,>, więc mamy

m)    U(Q, g,P)= 17(P,/,ot), I(G, g,P)= L(P, f ot).

- Podstawy analizy matematycznej