6 (38)

111

Własności całki

I *.14. Definicja. Jednostkową funkcją schodkową nazywamy funkcję

f° (x<0),

^{/( )}    (1 (x > 0).

I 4.15. TWIERDZENIE. Jeżeli a < s < b,f jest ograniczona na (a, b) oraz f jest ciągła w kncde s, i a(x) = I(x—s), to

jfd«=f(s).

a

[ Dowód. Rozważmy podział P — {x₀,x_l,x₂,x₃J, gdzie x₀ = aorazx₁ — s < x₂ < x₃ = b.

■tedy

U(P,f a) = M₂, L(P,f a) = m₂-

paeważ/jest ciągła w s, więc widzimy, że M₂ oraz m₂ zbiegają do f(s), przy x₂-*s.

I *.16. TWIERDZENIE. Niech c„ ^ Odia 1,2,3,..., niech £c„ będzie zbieżny, niech {s„} będzie Bpem parami różnych punktów odcinka (a, b) i niech

«(*)= £ c_nI(x-s_n).

»= 1

mtckf będzie funkcją ciągłą na <fl, b). Wtedy

\fte= I Cj(s„).

a    na i

I Dowód. Kryterium porównawcze pokazuje, że szereg (22) jest zbieżny jednostajnie dla kolnego x. Jego suma a(x) jest funkcją monotoniczną, ot (a) = 0, a (b) = £c„.(Jest to funkcja ■po samego typu jak występująca w uwadze 4.31.)

00

Niech będzie dana liczba e > 0, i wybierzmy N tak, aby £ c„ < e. Niech

N+l

£

«l(x)= I c„/(x-s„),    «₂(_X)₌ £ c_nI(x-s_n).

i mocy twierdzeń 6.12 i 6.15

£ Cj(s_n).

« 1*1

Z uwagi na nierówność oe₂(i>)— cc₂(a) < e, mamy

^ Me,

m*xM = sup|/(x)|. Ponieważ a = «!+«* wi_{ęc z} (24) i (25) wynika, że

b    N

< Me.

Sfdcc-Z cJ(_Sn)