2567802538

Definicja 2.1. Rodzinę # funkcji F nazywamy jednostajnie absolutnie ciqgłq na zbiorze A (krótko: jednostajnie AC, 04)), jeżeli dla dowolnego e > O istnieje rj > O taka, że dla każdej funkcji F z rodziny Sf oraz dla każdego ciqgu rozlqcznychprzedziałów {[a;,6*]} takich, że cii, bi E A oraz £;|bj — a* | < t], mamy co(F, [a*, foj) < e, gdzie co oznacza oscylację funkcji F na [a;, bj\.

Rodzinę et funkcji F nazywamy jednostajnie absolutnie ciqgłq na przedziale [a, b] w uogólnionym sensie (krótko: jednostajnie ACG, ([a, £>])), jeżeli przedział [a, b] jest sumq ciqgu domkniętych podzbiorów A( takich, że na każdym zbiorze Ai funkcja F jest jednostajnie AC,(A i).

Głównym wynikiem pracy (4) jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.2 (4). Niech <p będzie pewnq ustalonq junkcjq całkowalnq w sensie HL i określonq na przedziale [—r, 0]. Załóżmy, że dla każdej ciqgłej funkcji x:I_a —* E funkcja f(t, x_t) jest funkcjq Caratheodory’ego, całkowalnq w sensie HL, zdefiniowanq na R_ab dla a, b > O oraz a(/(t,«) < l(t,.(J))

dla każdego ograniczonego zbioru X c E, gdzie h jest funkcjq Kamkego oraz cc oznacza miarę niezwartości Haussdorffa. Niech ponadto zbiór F = [F(x): x£fij, gdzie

FWW = (KO) + fi f(s,£Ods ,tel_a,

będzie zbiorem jednakowo ciqgłym i jednostajnie ACG, na przedziale I_a. Wtedy istnieje co najmniej jedno rozwiqzanie problemu (2.1) na przedziale la, dla pewnego O < d < a, z funkcjq poczqtkowq cp.

Bardzo istotnym narzędziem dowodowym powyższego twierdzenia, oprócz własności całki Henstocka-Kurzweiia, własności silnych miar niezwartości oraz twierdzenia Móncha o punkcie stałym, jest udowodniony przeze mnie w pracy (4) następujący lemat, który podaje warunki wystarczające do „wejścia” z miarą niezwartości Haussdorffa pod znak całki Henstocka-Kurzweiia.

Lemat 2.3 (4). Załóżmy, że V jest przeliczalnym zbiorem funkcji całkowalnych w sensie HL. Niech F = |j_Q^£a:(s)ds, xEV, t 6/_aj będzie zbiorem jednakowo ciqgłym, wspólnie ograniczonym oraz jednostajnie ACG, na l_a. Wtedy

^a{!Ó^V<-^S'>^ds)~ J₀'^a(^l'(^sX)‘^fa- ^tela,

jeżeli tylko a(k^r(s)) < ę>(s) dla prawie wszystkich s e I_a, gdzie cp jest funkcjq całkowalnq w sensie Lebesgue 'a oraz a znacza miarę niezwartości Haussdorffa.

Lemat ten okazał się bardzo przydatny w dalszych badaniach. Został wykorzystany w wielu pracach przez innych matematyków. Ze względu na wciąż rozwijającą się tematykę, związaną z równaniami różniczkowymi z odchylonym argumentem, wyżej omówione przeze mnie wyniki są modyfikowane i wykorzystywane w dalszych badaniach. Zostały wykorzystane w dwóch monografiach [34, 90] oraz wielu publikacjach (np. [1,50, 65-69, 91-95]). Omawiana praca jest cytowana wg bazy MathSciNet 9 razy, wg Gogle Scholar 29 razy.

W dalszej części tego rozdziału omówię wyniki uzyskane w pracy (8), dotyczące zagadnienia Cauchy’ego rzędu meN postaci:

10