matma (5)

		• Definicja Heine’go
		Liczbę a nazywamy dranica funkcji y = f(x)
WYKŁAD 2		w punkcie Xq , jeśli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji zbieżnego do Xq o wyrazach różnych od Xg , odpowiadający mu ciąg (f(Xn)) wartości funkcji jest zbieżny do a.
FUNKCJE		• Fakt, że granicą funkcji przy x dążącym do x0 jest liczbą a zapisujemy:
GRANICA FUNKCJI		lim f{x) = a X~>Xq 2

Definicją Cąnchy’ego

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x_c granicę a gdy dla każdej liczby e > O istnieje taka liczba 5 > O, ze dla dowolnego xeX prawdziwa jest implikacja:

0< |x-x₀| < 6 => | f(x) - a| < e

lim/(*)=ao a v a    a| <4

wm Ig^ji

• Zmienną a nazywamy nieskończenie mała, jeżeli dla każdej, dodatniej liczby c istnieje taka wartość a₀ zmiennej a, poczynając, od której wszystkie następne wartości zmiennej są, co do wartości bezwzględnej mniejsze od e. Granicą wielkości nieskończenie małej jest 0.

Zmienną z nazywamy nieskończenie duża, jeżeli dla każdej dodatniej liczby N istnieje taka wartość Zq zmiennej z poczynając, od której wszystkie następne wartości zmiennej są, co du wartości bezwzględnej większe od N. Granica wielkości nieskończenie dużej jest w nieskończoności.

• Z definicji granicy oraz z definicji wielkości nieskończenie małych i nieskończenie wielkich wynika, że:

1)    granicą nieskończenie małej wielkości jest zero

(a więc jeśJi a jest wielkością nieskończenie matą to tima^O)

2)    różnica zmiennej i jej granicy jest wielkością nieskończenie małą( a więc jeśli lim x = a, to x-a=0)

3)    odwrotność wielkości nieskończenie dużej jest wielkością

nieskończenie małą, a więc jeśli    j

z—->o© to

. Z!

4)    odwrotność wielkości nieskończenie małej jest wielkością nieskończenie dużą, a więc jeśli

• Przykład 1    ,

Dla ciągu o wyrazach *•⁼ ń neN. Wraz ze wzrostem n wyrazy ciągu maleją. Aby jaśniej przedstawić zbliżanie się wartości wyrazów ciągu do zera, wartości te zesłały naniesione na wykres ich zależności od n.

Na wykresie widać, źe wartości zb/rżają się do zera, fest to granica tego ciągu. Ciąg nie musi koniecznie osiągać wartości granicy. Pokazane jest, że począwszy od n=5, odległość od zera (równa bezwzględnej wartości wyrazu ciągu, bo |x_n-0Hx_n|) jest mniejsza od £= 0.25.

Dla dowolnie małego c, mniejsze od 0.25, powiedzmy 0.001 i sprawdzamy, cały) ~Q| < 0,001 dla dostatecznie dużych n.    •

—.....»-.....-------- ----------— - - ■ ..................