4468

Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji fw punkcie Xo i oznaczamy symbolem . Czasem używa się też symboli:

Istnieją również inne oznaczenia.

Przykład ledymil

W oparciu o definicję wyznaczymy pochodną funkcji potęgowej w dowolnym punkcie .

Interpretacja geometryczna [edyluil

Z punktu widzenia geometrii, różniczkowalność f w punkcie x oznacza istnienie stycznej do wykresu f w punkcie nierównoległej do osi OY, zaś wartość f(x) jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej (w prostokątnym układzie współrzędnych tangensem jej kąta nachylenia do osi OX).

Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji (duża pochodna - stromy wykres, niewielka pochodna - wykres łagodnie wznoszący się, ujemna pochodna - wykres opadający itp.).

Różniczkowalność w zbiorze Ifdynijl

Jeśli dziedziną funkcji f jest zbiór otwarty U i jeśli f ma pochodną we wszystkich punktach tego przedziału, to/”nazywamy funkcją różniczkowalną na zbiorze U, a funkcję , która każdej liczbie przyporządkowuje liczbę f(x), nazywa się funkcją pochodnej (lub krócej pochodną) funkcji f na tym zbiorze.

Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, natomiast pochodna funkcji w zbiorze jest funkcją.

Gdy funkcja opisuje pewien proces fizyczny, pochodna funkcji charakteryzuje intensywność tego procesu. Na przykład, jeśli f jest funkcją drogi od czasu, to jest prędkością (chwilową). Jeśli f jest funkcją prędkości od czasu, to jest przyspieszeniem.

Druga i dalsze pochodne ledytujl

Jeżeli pochodna f funkcji f jest różniczkowalna, czyli sama posiada pochodną, to oznacza się ją przez f i nazywa drugą pochodną funkcji f.

Podobnie określa się drugą pochodną oraz kolejne. Jednak ze względu na czytelność zapisu apostrofami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej włącznie (czasem tylko do drugiej). Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi: albo arabskimi - jednak w celu uniknięcia pomyłki z potęgą iei stopień ujmuje się w nawiasy: