75620

pochodnej funkcji / w tym punkcie nazywamy funkcją pochodną funkcji f. Operację obliczania pochodnej funkcji różniczkowalnej nazywamy różniczkowaniem.

Uwaga 3.0.1. W literaturze oprócz f'(x) funkcjonują jeszcze inne oznaczenia. Można spotkać się z oznaczeniem /*, /', £(x), Wszystkie one oznaczają jednak to samo - pochodną funkcji jednej zmiennej / w punkcie x.

Z powyższej definicji wynika kilka faktów. Po pierwsze, jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie x₀ to punkt x₀ jest punktem skupienia zbioru A'. Po drugie, jeżeli punkt jest krańcem przedziału określoności funkcji / to jako pochodną przyjąć możemy jedynie jednostronną granicę ilorazy różnicowego w punkcie. Aby funkcja posiadała zatem pochodną, musi być określona w pewnym otoczeniu punktu. Konsekwencją definicji 3.0.1 jest też

Twierdzenie 3.0.1 (Warunek konieczny różniczkowalności). Jeżeli funkcja f posiada pochodną w punkcie xo to jest w tym punkcie ciągła. Jeżeli funkcja jest różniczko walna, to jest ciągła.

Obliczanie pochodnej, na szczęście, nie koniecznie musi być związane z koniecznością liczenia granicy ilorazu różnicowego w punkcie. Pomocne są tu twierdzenia, których znajomość upraszcza proces liczenia pochodnej funkcji elementarnych.

Twierdzenie 3.0.2. Jeżeli funkcje /j,/₂ : A' —» R są różniczko walne to ich złożenie, suma, różnica, iloczyn i iloraz (przy dodatkowym założeniu, że /₂(x) ^ 0) też jest różniczkowalny, pizy czym:

•    (/io/₂)'(x) = /{(/₂(x))./ź(x)

•    (fi+f2Y(x) = f[(x)+fi(x)

•    (fl-f2)'(x) = f[(x)-n(x)

•    (/. • aw*) = /;<*) • h(x)+/,(*) • r₂{_X)

. ₍L)’{_X) =

2