DSC07086 (4)

102

Pochodne funkcji

Rozwiązania

Funkcja / ciągła w punkcie *0 ma w tym punkcie pochodną niewłaściwą, jeżeli i /(*)-/(»!- co albo Un.

r—M X—*0    *"*• X —*0

Analogicznie definujemy pochodne niewłaściwe jednostronne.

a)    Mamy

f<0) ~ lim    = Hm    -—- = lim • Hm -77= = l -Qos 00.

^# '    «-o    x-0    *-0

= n_m    . i|_m ‘

.0 x >-0 yx *—o vx*

Żalem funkcja / ma w punkcie x₀ = 0 pochodną niewłaściwą 00.

b)    Mamy

*»(*)-fl(0)    ,    1

o (0) — hm —t— = hm . = Hm ~tt=-* ^v '    *-0    x - 0    *-0 x - 0    x-0 ^Z

Granica U nie istnieje, bo

P® i BM M 1

firn = —00, lim -r= = 00.

«-o-    «-o* #x

Funkcja g nie ma zatem pochodnej niewłaściwej w punkcie xo, ale ma pochodne niewłaściwe jednostronne: pl (0) = -00, $♦(()) = 00.

c)    Mamy

hm -r—	-=-= lim	TT X — —
		2
— lim ti	/5?.fc « .	1 ^1
u—0 V	U •—0

lim

u—o u

Zatem funkcja h ma w punkcie — pochodną niewłaściwą -00.

Twierdzenia o pochodnej funkcji

• Przykład 4.10

Korzyiując z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych fiinkcji: aJy = Intg|j b) y = aresin \/\-br, c) y »In(e* + VT+c*); d) y »x*; e) y = sin⁷f) y == (aretgar) ^aretg. Rozwiązanie

a) Niech |^ ₊ kxdla każdego k € Z oraz niech tg;| > 0. Wtedy

■

1    1

3

3dn-.

l	1
*	_-x
**3	3

Przykłady

103

b) Niech 1 - &x > O oraz niech — Sż < !• Wtedy

y]\ - ($1 -5x)

y = (arcsin v^l — 5x)' =

Vl — v^-5z

c)    Niech x € R. Wtedy

tf = pn («* + &3pS - '. ₊ }{T? ■ ^ ^{+ vrTp})'

__*. U%-J— (i+<*)')

c* + VI + e* \ M + ?    )

e^łt(2yTTe^?4-l)

“ 2(e* + y/i +F) >/\+ «*'

d)    Niech x > 0. Wtedy, korzystając ze wzoru /^f = «*^U/- otrzymamy

y' * (**)' = («“"*)' » e^B,“' * (xlnx)' = X* (i • !*** + * *“)“ ^z* 0°* + !)•

e)    Niech z 6 R. Wtedy

...

. . «2^ł + l 2* +1 /2* + l\

"⁷“ FTT ^FTT'(fTIJ = _7ain«Hl±i ^21+1 2Vto2(3« + l)-(r-M)3«b3 3* +1    3= +1    “    (3* + i)*    ”

2* +1 /2*+iV

-wsr”

s*+i    (3-+i y

0, Dla z fi 0 mamy

y' " [(arctgz) (arctgijj = (arctgx)'arctg j +arctgx(arctgij

X*

• Przykład 4.11

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć: | (/“*)' Ctf) <«»:

I) /(*) = _e* gdzie x € R; li) /(x) - ctgx, gdzie 0 < x < *;