DSC07098 (5)

126

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

b) Funkcja g(x) = \nx jest ciągła na przedziale domkniętym |l,e| oraz ma pochodną g'(x) = i na przedziale otwartym (l,e). Spełnia Zatem założenia twierdzenia Lagrange’a. Teza tego twierdzenia dla funkcji g ma postać

V??g|i = o»«>'|„..

• Przykład 5.3

Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:

a) < ta(l +2) < x dla x > 0; b) c* > 1 +z dla x > Ó.

Rozwiązanie

a) Niech f(x) - b(x + 1), {o,6j = (0,zj, gdzie x > 0. Łatwo sprawdzić, ze funkcja / spełnia założenia twierdzenia Lagrange’s na [a, Aj. Wtedy mamy

fa(H-g)-b(i+0)

*-0

= £ln(l + *)]    , gdzie 0 < c < x.

StądIn(l +x) = —Sdzie0<c<x. Zatem

Przykłady

127

b) Niech /(z) « e*. (a.6] = [O,z), gdzie z > O. Łatwo sprawdzić, te funkcje / spełnia założenia twierdzenie Lagronge'e na [a,6|. Wtedy mamy

-—7__ = [e*| gdzie 0 < c< z.

Z—0 l Jaw;

Stąd e* — 1 =s xe^c, gdzie 0 < c < z. Zatem e* — 1 > ze⁰ = z, czyli e* > 1 + z.

• Przykład 5.4

Znaleźć przedziały monotoniczności podanych funkcji:

a) /(x) = ~    ~ + 2; b) g(x) = z In z;    c) /i(x) = (* - 3)v/x;

o 3

X³

d) p(x) = x + sinx;    e) ą(x) = —0 ^r(^x) ^{= coSx}i

g) u(x) » v/9x — X³;    h) o(x) = x - aresin —; i) ia(x) *= 4x + ctgx.

Rozwiązanie

Przedziały monotoniczności funkcji znajdziemy badając znaki ich pochodnych.

a) Mamy /(z) = ^---- + 2. stąd /'(z) = z⁴ — z^a oraz £>/ = D/- = R. Badamy na

5    3

jakich przedziałach pochodna f jest dodatnia. Mamy

f(x)> 0    <=> z⁴ — z^a > 0 <=* x²(x — l)(z +1) > 0

<=>    —oo < x < — 1 lub 1 < z < oo.

Funkcja / jest zatem rosnąca na przedziałach (—co, —1), (l,oo). Podobnie, f(x) < 0 <=> — 1 < z < 0 lub 0 < z < 1.

Ponieważ w punkcie xo = 0 „sklejają" się dwa przedziały, w których pochodna jest ujemna, a funkcja jest ciągła, więc jest malejąca na całym przedziale (-1,1). b) Dla funkcji g{x) = zlnz mamy g'(x) = lnx+ l oraz D_$ =    == (0,oo). Szukamy

przedziałów, na których pochodna g' jest dodatnia. Mamy

g\x) > 0 <=> Inz + 1 > 0 <=> e < z < oo. flmkćją g jest zatem rosnąca na przedziale ^,oo^. Podobnie,

g\x) < 0 <=> 0 < z < -.

Funkcja^ jest zatem malejąca na przedziale ^0,

3z — 3

c) Dla funkcji h(x) = (z — 3)y/x mamy h'(x) = */x + (z —    ^ormz

Dn * (O.oo), D_h* = (O.oo). Szukamy przedziałów, na których pochodna ti jest dodatnia. ^    3-3

h\x) > 0 <=>    ■ -- > 0 <=> 3(z — 1) > 0 <=»> 1 < z < oo.

2y/X