95693

Tw. 5 (Weie rstr assa): Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a; b> to 1" fjest ograniczona na przedziale <a; b>.

2° ittnicją takie liczby Ci i c». że: f(ci)=/r(f(x€<a; b>) f(x) oraz f(c J =Shp(xe<*: b>) f(x).

Tw. 6 (l)arbonx): JeZdi funkcja f je* ciągła na przedziale domkniętym <a ; b> f(a>* Rb) oraz liczba g jest zawarta naędzy Ra) i Rb) to istnieje taki piaikl ce (a . I>). Ze

flO-g

POC HODNA FUNKCJI

Drf: Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie Xo i dla przyrostu Ax zmiennej niezależnej je*t to stosunek [Rx₀ * Ax) • f(Xo)J'A X.

Drf: Granicą właściwą ilorazu różnic owego gdy Ax - >0 nazywamy pochodną hm kej i i oznaczani)' symbolem f' (x<j.f‘(Xo) ■■ lm(Ax-»0) [f(x„ + Ax) • f(x„)t‘ A x Drf: Granicą lewostronną fimkcji f wpunkcie x, nazywani)' f *(Xo) = lin(Ax-*0') [f(xv*Ax)-Rxo)]/A x Drf: Granicą prawostronną fimkcji f w prmkcie Xo nazywani)' f(x«') = liin(Ax-»0') [f(x₀ ♦A x) • Rx₀)J/ A x.

Tw. (O pochodnej hinkejt odwrotnej): Jeśli fiaikcja x=g(y) jest ściśle monotonie zna i posiada fimkcję pocliodną g'(y) * 0 to funkcja y = f(x) odwrotna do niej posiada funkcję pocliodną. przy czym f *(x)= I/ g'(y) . gdzie y- Rx) dla każdego xe Df

Tw. (O pochodnej funkcji złożonej): Jeżeli funkcja h ma pochodną w punkcie x. a funkcja f ma pocliodną w punkcie ir~ h(x) to funkcja złożona f(h(x» ma w punkcie x pochodną [tyi(x)]*= f|h(x)J*h(x)

Def: Pochodną logarytmiczną funkcji f nazywani)' pochorfcią jej logarytnn naturalnego [In Rx)J’= f '(x)f(x).

Tw. (O pochodnej hinkcjł określonej parametrycznie): JeZdi fiaikcjay=g(x) jest określona parametrycznie: x=f(t). y=h(t).<Ua te (a.b) przy czym istnieją podiodnc dy/dt i dx'dt*0 to istnieją takie pochodne dy/dx = (dy/dl) / (dx dt>

Def: Ró^nlrzk' funkcji fw ptmkcic x₀ i dla przyrostu Ax ziniauicj mczalc^iej x nazywamy ilocz)’n f ‘(x*)*(Ax). Ro₆niczkć oznaczmy symbolem dRx„) lid) krótko df hd> dy

Definicja przyrostu funkcji:

f (x₀⁺Ax) - f (x#) *= f '(x*)*Ax

Def: Pochodu' n tego rzędu hinkcji fw ptmkcic x okrcorbniy nastópuj'co

f^<rt(x)“[f^,-"Kx): n-l.Łprzy czym [f^]'(x)-f(x)

Def: Jc^di fimkcja f ma pochodu' rzćdu (n - 1) na otoczeniu pimktu x_n oraz pochodn' rzędu n w tym samym ptmkcic X*. to <ff(Xo) = (djd “ 'Rx)|), -n.= 2.3... przy czym w każdym różniczkowaniu tai sam przyrost dx. Sfdpotmjajc proste rozimuwanic indukcyjne mamy tTRxo) ' f^<R) (Xo)dx *. Symbol dx "oznacza tu (<bc)“.

Tw. (Rofle’a): Jeżeli fimkcja f jest ci'g'a na przedziale <a;b> i rójiiczkowalna na przedziale (a.b) oraz f(a)f(b). to etnicjc taki punkt ce(a;b). ^,ef '(c)“0.

Tw. (O przyrostach. Lagrange'a): Jeżeli funkcja f jest ci'g’a na przedziale domkniętym o kcrtcach Xo i x oraz ma picrwsz' pocliodn' wcwn'trz lego przcdzia’u. to istnieje taki punkt, ic^cy nnćdzy Xo i x.    f (x) - f (Xo)=f ‘(c) (x -Xo). Wnioski:

1)    jc₆di dla każdego xe<a;b> f '(x)=0 to dla każdego xe<a;b> Rx) • Rx₀)=0(x * Xo)=> Rx)=Rx₀> Jc<,di f(x,)=Ow każdym punkcie przodzia’u (a.b). to fimkcja fjest na tym przedziale sta'&

2)    je^di dla każdego xe (a.b) f'(x)>0lo:

a)    X<Xe Rx) - RXo)“f ^-(X)(X - Xo)<0.

f(x) - Rx_o)<0=>Rx)<f(x_<1)

b) x₀<x Rx) • HxaHXx₀)(x • x«)>0    Rx)>f(x₀) JeZdi f '(x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b). to fimkcja fjest na tym przedziale rosnąca

3)    JeZdi f ‘(x)<0 w każdym ptmkcic przedziału (a.b), to fimkcja fjest na tym przedziale malejąca

Tw. (Taylora): JeZdi fimkcja f ma ciągle pochodne do rzędu n-1 włącznie na przedziale domkniętym o korkach x, i X oraz ma pocliodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c. lezący między x« i x. Ze Rx) • Rx«) = _k-iE“’¹ (<f ^K(x₀))^|łc*J*(x -x₀)^K'i(f^<"^,(c))Ai!j*(x- Xe)“ przy założeniu, ze dla n= 1 pierwszy składnik po prawej strome wzoru jest równy zeru

WZÓR MACLAURINA: We wzorze Taylora kładąc x_o^_0 otrzymamy K-oT*'^,[(f^<K,(0)) dc?]*x^K+R.. gdzie R^ff** CAi!j*x*. Punki c jest położony między Oi x

EKSTREMUM FUNKUJl

Niech Df zawiera pewne otoczenie Q pimktu x©.

Def: Mówimy. Ze fimkcja f ma w ptmkcic x» maksimum [minimum] lokalne. jcZdi istnieje taka liczba dodatnia r. źc dla kaZdcgo xcS(XoJ) spełniona jest odpowiednia nierówność: f(x) f(x<) |Rx) ’Rx«)|. JeZdi zanaast powyższych nierówności słabych spełnione są odpowiedruo nierówności mocne Rx)<f(x₀) albo f(x)>f(Xo) to maksmmm (mininmm) lokabie nazywamy właściwym.

Tw. (Fermata): JcZcIi fiaikcja f ma w punkcie x? ekstremum i ma w tym pimkcic pierwszą pochodną to f'(Xo)H).

Wai unck konieczny istnienia ekstremum: Funkcja f może mieć ckstrcniim tylko w tych punktach, w których pochodna mc istnieje bądź jest równa 0.

Pierwszy waiunek wystarczający ekstremum: JcZdi fiaikcja fjest ciągła wpunkcicx<>. a ponadto posiada pochodną P na pewnym sąsicdZTwic S(x«r) przy czym f(x)<0 dla S(x₀':r) i P(x)>0 dla S(x_e‘ j) to fiaikcja f ma w piaikcie x minimum wlaśdwe. jezdi natomiad spełniony jest wariaick f '(x)>0 dla S(Xo' ;r) i f '(x)<0 dla S(x»* j) to fiaikcja fma w piaikcie x_: maksimum właściwe.

Drugi warunek wystarczający ekstremum: JcZdi funkcja fma na pewnym otoczeniu Q(XoJ) pochodną do rzędu n włącznie, pochodna f ^w jest ciągła w punkcie Xe.n jest liczbą parzystą, a ponadto f^(k>(x»)’0 dla k»1.2,...(n -1) oraz f * (Xo>* Oto fiaikcja f ma w piaikcie Xo maksimum, ad)' P (Xo)<0. natomiast minimum właściwe. gd)-r’ (x„)>0.

WYPUKŁOŚĆ 1 WKLĘSŁOŚĆ WYKRESU FUNKCJI. PUNKTY PRZEGIĘCIA

Def: Mówimy. Ze krzywa y-f(x) jest wypukła (wklęsła) w punkcie x₀ wted)-1 tyko wtedy, gd)- istnieje taka liczba r_t>0. źc część wykresu odpowiadająca x> S(x₀: ri) znajduje się nad (pod) styczną do tej krzywej w piaikcie (x_c. Rx>))

Tw. JcZdi fiaikcja f ma pierwszą pocliodną na otoczeniu Q(x«,.r) oraz istnieje f"(Xo)*0 to krzywa y= Rx) jest wypukła w punkcie Xo gdy f ''(x_o)^>0. natomiast jest wklęsła w punkcie X* gdy f "(x₀)<0

Def: Mówimy. Ze krzywa y-Rx) jest wypukła (wklęsb) na przedziale oTwartym wtedy i tyko wtedy, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału Wniosek: JcZdi f "(x)>0 na przedziale (a;b) to krzywa y= Rx) jest wypukła na (a;b). jeśli natomiast f "(x)<0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wklęsła na (a.b).

Def: Piaikt P,<Xsf(x₍.)) naz)’wani)' punktem przegięcia krzywej y- fix) wtedy i tylko wted)-. gd)’

1)    istnieje styczna do krzywej y= f(x) w punkcie P._v

2)    krzywa y= f(x) jest wypikła na pewnym lewostr oiaiym sąsicdzTwic ptak tu Xo i jest wklęsła na pewnym prawostronn)'in sąsiedZTwie lego ptaiktu albo na odwTOt Tw. JcZdi funkcja f jest dwukrotnie rożniezkowalna w pewnym otoczaiai Q(x®;r) i spdnia dwa warunki:

1) druga pochoibia w punkcie Xojcst równa zeru :    f "(x<>)=0.

2)    druga pochodna zmienia znak w piaikcie Xn

to piaikt Po (Xo:fl)Co)) jest punktem pizcgięcia wykresu funkcji f.

REGUŁY UL L iłóSTlIALA

Tw. JcZdi funkcje f i g róZmczkowalnc na sąsicdzTwic piaiktu x» spełniają dwa następujące wanaiki: 1) obie dąZą do zera prz)' X-SXo tzn lon(x sx«) f(x)-0 i lan(x-sxo) g(x) 0 2) ntnicjc granica g (właściwa kib niewłaściwa) ilorazu pierwszych pochodnych przy x->Xoczyli lim(x->XaXr(x)/g*(x))-g to istnieje granica ilorazu tych funkcji i równa się g czyli: lan(x-*Xo)f(x)/g(x)=g.

Tw. JcZdi funkcje f i a rozmczkowalnc na sąsicdzTwic punktu x? spełniają dwa następujące waiunki: 1) luii(x-»Xo)f(x)=iff> ,lim(x-»Xo)f(x)=± <o 2) istnieje granica (w-bściwa lub niewłaściwa) lmi(x -rx«)f'(x)/ g ’(x) =gto istnieje granica bm(x >Xo)f(x) / g(x)’p: