108817

przyjmujemy c=X|

Tw. Lagrange’a (o war ości średnio):

Jeśli f jest ciągła na <a,b> i różniczkowalna w (a,b) to istnieje cg (a,b) taki, że f ‘(c) f (b) — f(a) b- a Dowód:

Definiujemy g(x) = f(x) -

f(b)- f(a) b-a

*(x-a) + f (a)

o*    b

g’(c) = 0

Z tw. Rolle’a istnieje cg (a,b)

f(b)~ f(a) b-a

Ponieważ g ‘(c) = f‘(c) -

Wniosek z tw. Lagrange'a:

Jaśli a    f ‘(x)>0 (<), to f jest rosnącaca (malejąca) w (a,b)

xe(a.b)

Dowód z wniosku:

Załóżmy, że a f‘(x)>0 xe(a,b)

Niech X|.X2 e(a.b), X|< x:

X| ->xl X2 —»x2

f(x2)-f(xl) = ^Mx2)~ ^>(xl)*(x2-xl) = f(c)*(x2-xl)-»0 x2- xl

•i' 4' 4'

f‘(c) z hv. Lagrange’a>0 >0 czyli

f(xl)<f(x2)

Co oznacza, że f jest rosnąca.